***

Этот раздел сайта ЗАКРЫТ в связи с передачей в марте 2013 года яндексом хостинга narod.ru в собственность ucoz.ru.

Последний известен навязыванием на страницы сайтов похабной рекламы, рекламы лохотронов и наличием сайтов с malware и мерзким содержимым.

60 Mb материалов по математике, опубликованных с 2009 года,
с этого сайта удалены.
Оставлена только эта страница с полезными интернет - ссылками.

Если вы видите здесь рекламу ucoz.ru - не вздумайте по ней ходить!
Учтите, что она не имеет никакого отношения к этому сайту.

***

Математика

 

Разделы	Время последнего обновления
Ссылки на книги в интернете: учебники, задачники, решебники и другую литературу	08.12.2011 22:55
Осень 2012	17.01.2013 01:45
Весна 2012
Записи для физмеха	24.05.2012 15:50
Записи для электромеха ("бакалавриат")	28.05.2012 20:30
Некоторые комментарии 2011 года : Начала анализа, пределы, непрерывность, дифференцирование, формула Тейлора, степенные разложения, ряды Интегрирование функций одной переменной Функции нескольких аргументов Кратные, поверхностные, криволинейные интегралы Начала ТФКП Дифференциальные уравнения Алгебра, линейная алгебра, аналитическая геометрия Алгебра 2010/2011 уч. года Теория вероятностей
Политика, которая касается нас всех  Вне уроков	13.01.2013     22.04.2012     19:05

 

2012 год

Математический анализ и алгебра 1 и 2 курсы

! Записи идут в обратном порядке: последняя добавленная запись расположена выше всех.

19.01.2013 22:00

18 января столкнулся с поразительным явлением: некторые не знают координат векторов i, j, k (в базисе i, j, k) и не знают уравнений координатных плоскостей XOY, XOZ, YOZ. Поясняю: координаты вектора - это коэффициенты в его разложении в линейную комбинацию базисных векторов.

Например,  i = 1i +0j +0k поэтому координаты этого вектора (1,0,0)

Вообще, в любом базисе координаты вектора из того же базиса - одна единица, а другие нули в силу подобного же разложения. Единица на том месте, на каком он стоит в списке базисных векторов.

Координатная плоскость XOY имеет уравнение z = 0. Т.е. 0x+0y+1z=0  Её нормаль - вектор k

Координатная плоскость XOZ имеет уравнение y = 0.   Т.е. 0x+1y+0z=0 Её нормаль - вектор j

Координатная плоскость ZOY имеет уравнение x = 0.   Т.е. 1x+0y+0z=0  Её нормаль - вектор i

17.01.2013  01:45

Буду 18.01.2013 в 228 ауд гл. зд. с 12:00 до 13:30. 

Для 1241 будет итоговое тестирование по всем разделам курса. Учите формулы аналитической геометрии, метод Гаусса, структуру общего решения системы AX=B, свойства и методы вычисления определителей, операции над векторами и матрицами и их свойства (по списку экзаменационных вопросов).

Написал и выложил комментарий по паре простых задач на решение систем линейных уравнений, которые стали для некоторых студентов 1241 неодолимым препятствием [ссылка]

14.01.2013  22:00

Буду 15.01  в главном здании после 10:00 ауд. уточнить на доске объявлений кафедры (см. Подсыпанин, вероятно, ауд. 226)

08.01.2013   20:40

Написал и выложил краткие комментарии к теме "матрицы" [текст pdf].

01.01.2013   23:40

10 января помогаю принимать экзамен во II к. 265 ауд. После экзамена принимаю зачёты.

28.12.2012   13:15

Следующий приём зачётов завтра,  в субботу 29 января, после приёма экзамена. Ориентировочно - с 14 часов. Номер аудитории смотреть на доске объявлений кафедры высшей математики. Студентам групп 1241 направления на зачёт в деканате брать никому не надо: деканат ФУИТ открыл дополнительную ведомость на тех, кто не получил зачёт..

26.12.2012   19:20

Следующий приём зачётов - в четверг 27.12.2012 после 13 часов в ауд. 136 главного здания.

24.12.2012   23:00

На 22.12.2012 зачтено

1241/1
Калачёва Е.
Ковалёва А.
Корнюшенкова Ю.

1241/2
Батырова А.
Мельников Е.
Усова А.

1241/3
Начёнкина А.
Панченко А.

1241/4
Зиниченко Е.
Карачёв Н.

20.12.2012   13:15

Назначил дополнительный день: вторник, 25 декабря, после 12 часов ауд. 136 главного здания. Это крайний срок сдачи зачёта (большей задержки взять на себя не смогу, закрываю ведомости).

Буду также сегодня после 15 (118 гидрокорпус) и завтра после 10 (316 гидрокорпус).

В группах 1241 проверка переписок контрольных работ и расчётных заданий идёт медленнее, чем хотелось бы. В первую очередь проверил расчётные задания тех студентов, кто успешно занимался в течение семестра и не имел задолженностей по контрольным работам. К 13 часам 20 декабря в группах 1241 положительные результаты за семестр показали следующие студенты:

11.12.2012   01:15

Для групп 1241 выложил расчетное задание по алгебре и список вопросов, присланный лектором.

По операционному исчислению выкладываю страницы из задачника Ефимова - Демидовича 2 том

13.11.2012   23:55

Для группы 2058 выложил 18 страниц из учебника Мышкис А.Д. Математика, специальные курсы. 1971. [ссылка 500 kb djvu] Здесь наиболее кратко изложено, как действовать дифференциальными операторами (вычисления градиента, ротора, дивергенции) классической теории векторного поля. Кратко рассказано о потенциальном и соленоидальном полях, об их потенциалах (скалярном и векторном потенциалах). Рекомендую также учебник Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 1965 г. Разложение матрицы Якоби (т.е. производной векторного поля) на три слагаемых, среди которых антисимметричная матрица и симметричная, представленная в виде суммы диагональной и бесследной, позволяющее ясно понять смысл ротора и дивергенции, в рекомендованной мною ранее книге Арнольда В.И. (Математические методы калссичческой механики) мне что-то найти не удалось. Возможно, подвела память. Или чтение с экрана затрудняет поиск. Найду.

19.10.2012  13:55

В группе 2174/1 закончили тему двойных и тройных интегралов 1 и 2 рода, перешли к теме "криволинейные интегралы 1 и 2 рода". Решали задачи 4221, 4225, 4226, 4232, 4254, 4255 по Демидовичу для университетов. Для задачи 4254 нарисовали векторное поле как сумму двух полей. Первое из них (радиальное) не даёт вклад в интеграл из-за ортогональности его векторов кривой интегрирования в её точках, второе касательно к ней в её точках и потому ответ можно было получить мгновенно.

10.10.2012  22:10

Вниманию студентов, изучающих кратные интегралы

Бросающееся в глаза отличие интегралов 1 рода от интегралов 2 рода - модуль якобиана в формуле замены переменных в интеграле.  У интеграла 1 рода он есть, а у интеграла 2 рода его нет. В задачнике Демидовича для университетов читателей вводят в заблуждение, приводя в начале главы о кратных интегралах только первую формулу (с модулем). На самом деле в тех физических задачах, в которых важна ориентация локальной системы координат (например, задачи, требующие учёта магнитных потоков, порождаемых электрическими токами) нужны именно интегралы 2 рода. Да и для вычисления интегралов 1 рода всегда приходится заменять их равными им интегралами 2 рода, ибо для последних справедлива теорема Ньютона- Лейбница, являющаяся основой для применения таблицы интегралов. При этом приходится разбивать область интегрирования на участки знакопостоянства якобиана и интегрировать их порознь,  а потом складывать результаты интегрирования со знаком плюс или минус, добавляемым искусственно. Повторяю, это только в тех задачах, где вычисляем интеграл 1 рода - масса линии, масса поверхности, вероятность попадания точки в указанную площадку и т.д. задачи, требующие вычисления МЕРЫ множества точек. В серьёзных курсах математики интеграл по мере - это большущий раздел курса,  с толстыми учебниками по нему. Интегралы 1 рода - это частный случай интегралов по мере.

Интегралы 2 рода употребляют для вычислений там, где важно направление суммирования. В частности, это задачи классической магнитоэлектродинамики. Математическое ожидание и дисперсию в теории вероятностей тоже вычисляют с помощью интеграла 2 рода - по множеству значений случайной величины, или с помощью интеграла 1 рода - по пространству элементарных событий (т.е. по вероятностной мере).

На самом деле уже для однократных интегралов есть интегралы 1 и 2 рода, но об этом первокурсникам   не говорят, рано им такие вещи знать. Для интегралов 1 рода формула замены переменных имеет вид (пределы интегрирования не пишу, шрифты не позволяют)

S f(x) |dx |  = S f(x(t)) |x'(t) | |dt |

где  последний интеграл для вычисления заменяют интегралом 2 рода

S f(x(t)) |x'(t)| dt 

равным ему при соответствующей расстановке пределов интегрирования (вверху больше внизу меньше, чтобы t возрастало и тогда dt > 0), - её приходится выбирать самому вычислителю, искусственно.

Вы подумайте: зачем в вычислении определённых интегралов нам прививают привычку внизу писать меньший предел интегрирования, а вверху больший? Если этот интеграл - длина кривой, заданной графиком функции, - какая нам разница в каком направлении суммировать элементы её длины  - слева направо или справа налево? Всё равно ведь должна получиться длина! Или, например, если мы вычисляем массу отрезка [a,b] по заданной погонной плотности f(x) [кГ/м]? Ну какая нам разница, в каком направлении складывать веса участков f(x)dx - слева направо или справа налево? Разве от перемены мест гирь их суммарный вес меняется? Тем не менее привычный нам интеграл Римана на такую перемену направления суммирования реагирует очень сильно - он меняет знак! И мы, зная это, сами ставим в пределы интегрирования внизу - меньшее число, вверху - большее. И никто нам на пером курсе не говорит, что тем самым мы составляем интеграл 2 рода, численно равный интегралу 1 рода  S f(x) |dx | , который и является решением нашей задачи и который не зависит от направления интегрирования - для него что [a,b], что [b,a] - без разницы. Но потому-то для него и нет формулы Ньютона - Лейбница! Потому его и избегают на 1 курсе. А вот на 2 курсе умолчать об этом уже невозможно из-за того, что вычисление длин кривых в пространстве, площадей поверхностей, интегралов по ним от функций, заданных на них, как правило, проводится с помощью замен переменных, требюущих понимания этих вещей.  Потому в стандартных курсах анализа вы видите криволинейные интегралы 1 и 2 рода, поверхностные интегралы 1 и 2 рода, а вот то, что обычные интегралы - однократные и двукратные являются частными случаями упомянутых интегралов 2 рода, обычно н еупоминается. У интегралов 1 рода в определении, в сумме Римана, стоят не приращения аргументов, а их модули. Более общие интегралы 2 рода - это интеграл Стилтьеса  S y(x) d F(x) и 1 рода - интеграл Лебега (по мере).

10.10.2012   09:30

Вниманию студентов, отсутствующих на занятиях

В группе 2174/1 закончили тему рядов Фурье и проходим двойные интегралы и их применения. На предыдущих занятиях учились расставлять пределы интегрирования. Последнее занятие: употребление криволинейных систем координат разобрали на примерах 3987,3997,3998(в) из сборника задач Демидовича для университетов. В последней задаче столкнулись со сменой ориентации системы координат (порождает изменение знака интеграла). Для вычисления площади употребили интеграл 1 рода от единицы, заменили его равным ему интегралом 2 рода, который в свою очередь заменили повторным интегралом (интегралом от интеграла). Кратко рассмотрели  понятие "плотность" для величин, распределённых по плоским площадкам.

В группах 1241/1,2,3,4 учимся решать задачи из параграфов 12 - 16 задачника Клетеника. В наш набор инструментов добавлены начальные сведения об определителях матриц и их применении (формулы Крамера, площадь параллелограмма и объём параллелепипеда, индикатор линейной зависимости строк и столбцов), их свйства, облегчающие их вычисление, а также формулы вычисления координат центра тяжести системы (материальных) точек на плоскости и в пространстве Xц.т. = (p₁x₁+..+ p_nx_n)/(p₁+..+ p_n) (и аналогично для Y и Z). Для однородной треугольной тонкой пластинки её ц.т. совпадает с ц.т. её вершин, если считать, что их веса p=1. Для неоднородных тел и пластинок сложной формы их ц.т. вычисляют с помощью аналогичных формул, но в них вместо сумм используют интегралы (аналоги суммирования).

07.10.2012   12:25

Вниманию групп 1241/1,2,3,4. С 9.10 занятия будут проходить по задачнику Клетеника. Цель - научиться решать задачи из параграфов 12 - 16 (разные формы уравнения прямой на плоскости). Всем принести с собой задачники (можно в электронном виде), - заниматься будете индивидуально, на доске будут разобраны лишь те задачи, которые вызывают затруднение у многих из присутствующих. К занятию прочтите конспект лекций по этой теме и если возникнут вопросы, требующие объяснений, подготовьте их.

06.10.2012   15:30

ФУИТ, группы 1241/1,2,3,4 Образец решения задач первой контрольной работы

Сборник задач Клетеника

03.06.2012   12:10

Буду в понедельник 4 июня после 12 часов (подходить к кафедре, ауд. на доске объявлений)

Затем 9 июня на экзамене по расписанию

28.05.2012   20:30

На зачётной неделе буду:

вт. 29.05.12   с 12 занят последним занятием в группе 1058, с 14 до 16 доступен ауд.241

ср. 30.05.12   с 10, 12, 14 по расписанию занятий, группа -хозяйка аудитории идёт первой

сб. 02.06.12   с 12 ауд 228 (? уточнить на месте)

Записи для электромеха ("бакалавриат")

Запись 28.05.2012  20:30  матанализ 1 курс электромех

Итоги семестра для 1023/1 [ссылка pdf]

Тем, кто не сдал бОльшую часть тем, придётся писать работу по всем темам сразу (по одной - две задаче на тему) и затем разговаривать со мной по задачам, т.к. я должен принять итоговое решение.

Запись 11.05.2012 20:55  матанализ 1 курс электромех

Тем кому я поручил доделать график из к.р.  дома:

Молодым людям из этого числа - дополнительное задание:  задача на построение кривой, заданной параметрически [ссылка] - задачу оттуда выбрать на свой вкус, пр исследовании можно пользоваться компьютером и калькулятором, но в отчёте надо представить аналитические данные о векторе скорости и векторе ускорения движения точки (x(t), y(t)), о крайних точках кривой, точках возврата, точках перегиба, о разрывах, об асимптотах и согласованный с ними рисунок. Т.е.  все особенности кривой на рисунке должны иметь аналитическое обоснование (а не таблицу числовых значений двух функций x(t), y(t) ).

От девушек этого требовать не буду, но и не запрещаю выполнить такую работу, она полезная.

Напоминаю, в среду в 14 часов переписка к.р. по комплексным числам и графикам. Каждый из билета будет переписывать те из двух тем, которые не зачтены по итогам контрольной работы (вы сами должны это помнить). Заранее подготовьте двойные тетрадные листочки бумаги и надпишите их: группа, ФИО, дата.

В качестве аттестации в деканат отправил результаты контрольной работы: два знака (плюс или минус) за тему "алгебра комплексных чисел" и за тему "аналитические свойства фукнций и их графики".

Запись 02.05.2012 07:20  матанализ 1 курс электромех

Только что получил указание лектора: в таблице из решебника Марона обязательны для знания наизусть (и умения доказывать, что эти подстановки позволяют взять интеграл) формулы из разделов
1, 2, 5, 7, 9, 10, 15, 17, 18.

Повторяю ссылку на таблицу от 26.04: Сводная таблица основных методов вычисления неопределенных интегралов [ссылка 3 листа A4 в формате djvu] Всем иметь ее копию в бумажном виде.

Запись 28.04.2012 19:00  матанализ 1 курс электромех

Для предстоящего после 2 мая занятия по теме "интегрирование дробно-рациональных функций" выкладываю примеры разложения правильной дроби в сумму простейших дробей [ссылка] Тем, у кого есть возможность, рекомендую изучать прямо сейчас.

Запись 26.04.2012 16:00  матанализ 1 курс электромех

Четвёртое, что нам предстоит сделать (после 19 мая), - научиться проделывать то же самое с определёнными интегралами, в том числе и с теми, которые называют несобственными.

Пятое, что нам предстоит сделать (после 26 мая), - познакомиться с Римановой суммой, предел которой и есть определённый интеграл. Для решения прикладных задач ведь надо сначала составить интеграл, а уж потом его брать. Вот для этого и используют Риманову сумму. Задачи в этом разделе традиционно делят на геометрические (вычисление площади фигур, длин кривых, объёмов тел, площадей поверзностей вращения) и физические (механические, электрические и т.п.). В вашем задачнике хватает таких задач, но почти нет примеров их решения. Примеры решения можно посмотреть, в частности,  в указанном здесь решебнике Марона.

Запись 26.04.2012 13:15  матанализ 1 курс электромех

Поскольку "реформаторы" (и примкнувшие к ним деканаты) отполированной до блеска советской системы преподавания математики лишили нас половины аудиторного времени, вынужден руководить вашей работой через интернет. Хотя это намного тяжелее и мне и вам. Но что же нам делать? Другого выхода нет, как в 1941 году придётся временно отступать.

Вот ваше задание на неделю до 2 мая. Те, кто не выполнит задание, на занятиях со 2 мая окажутся в тяжелом положении: будут плохо понимать происходящее и всё дальше и дальше отставать. В таких случаях мой ответ на жалобы: все претензии передавайте "реформаторам" Фурсенко, Путину, Медведеву и прочим Набиуллиным, а также в руководящий их действиями Международный Валютный Фонд (США).

Вычисление неопределённых интегралов

Первое, что надо сделать, - вычислять простейшие интегралы, сводящиеся  к табличным, подглядывая в таблицу интегралов. Рекомендую для начала задачи из интервала 1031 - 1046 вашего задачника. В них основной способ вычисления - разложить подинтегральную функцию в сумму и проинтегрировать сумму почленно, вынося постоянные множители за знак интеграла. Возьмите несколько разных интегралов из этой группы задач. Вот вам в помощь пара ссылок 2010 года:

    Решебник: Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. (Функции одной переменной)
http://www.alleng.ru/d/math/math492.htm

    Решебник: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и задачах. ( В 2-х частях )
Учебное пособие для студентов втузов.
http://www.alleng.ru/d/math/math148.htm

Сразу приучите себя делать проверку полученного результата вычислением производной. Обязательно! В обучении это важно не только для проверки результата, но и для того, чтобы научиться ясно видеть структуру функции, последовательность операций интегрирования (они идут в обратном порядке по отношению к операциям дифференцирования из правила дифференцирования суперпозиции функций).

Затем надо научиться замене переменной интегрирования (задачи 1051 и далее). Вот простейший пример:

S (1/(x-1)) dx  = S (1/(x-1)) d(x-1) = ln |x-1| + C

Здесь использован тот факт, что d(1) = 0 и  dx = d(x-1), потому, заменяя в интеграле  dx на d(x-1), мы затем смотрим на (x-1) как на имя новой переменной интегрирования (многобуквенное имя, но это нас не должно смущать).

Точно так же в интеграле S(x-2)⁵dx было бы неразумным возводить (x-2) в 5 степень по формуле бинома Ньютона, чтобы затем взять интеграл от суммы как сумму интегралов. Можно, конечно, но проще поступить так:

S(x-2)⁵dx = S(x-2)⁵d(x-2) = (x-2)⁶/6 + C

Надо приучить свои глаза смотреть на формулу либо как на форумулу (т.е. видеть её структуру) либо как на многобуквенное имя одной переменной величины (т.е. не обращать никакого внимания на её внутреннюю структуру): в вычислении интегралов формула df = f ' (x) dx очень часто используется "задом наперёд" (т.е. справа налево) с целью использования переменной f в качестве новой переменной интегрирования. Например:

S x cos(x²) dx = S cos(x²) d(x²)/2 = sin(x²) /2 + C

Самое необычное для вас в замене переменной интегрирования то, что вы сами должны придумать эту замену, эту новую переменную. Именно для этого и нужно было научиться хорошо вычислять производные. Если вы достаточно тренировались в вычислении производных, - ваши глаза смогут опознавать части подинтегральной функции, являющиеся чьими-то производными. Их первообразные  и надо пробовать использовать в роли новых переменных интегрирования. Это часто является самым главным, что позволяет вычислить интеграл.

Затем надо попробовать в действии формулу "интегрирования по частям". Решайте задачи, начиная с номера 1211.
Заметка о технике интегрирования по частям  - рекомендация не заморачивать себе голову обозначениями из учебников [ссылка], всё обстоит гораздо проще. Там же в приложении показано, как можно взять интеграл от функции, дробно-рационально зависящей от косинуса  и синуса, т.е. это материал уже для следующей части нашей работы, после 2 мая.

Второе, что надо сделать, - научиться писать по памяти всю таблицу интегралов (т.е. таблицу производных в обратном порядке).

Та таблица, которая приведена в задачнике Демидовича для ВТУЗов (17 формул "Таблицы простейших интегралов" в начале Главы IV, стр. 102 издания 1970 года), для этого мало пригодна, т.к. в ней есть излишества, отрывающие её от уже известной вам таблицы производных и этим затрудняющие запоминание формул.
1) Излишен параметр a в формулах 3 - 6; в формулах 3,5,6 сразу его замените на 1 (чтобы получились формулы, уже  знакомые по таблице производных) и научитесь для тех случаев, когда он имеется, приводить интеграл к табличному виду вынесением параметра a > 0 за скобку или из-под корня с последующим использованием x/a в качестве новой переменной интегрирования; формула 4 не требует вообще-то запоминания, т.к. такой интеграл можно взять разложением дроби в сумму простейших - научитесь это делать.
2) интегралы 12 и 13 не имеют аналогов в таблице производных и их не обязательно помнить наизусть, потому что их легко можно взять стандартной "универсальной" подстановкой x = tg (t/2); t = 2 arctg (x)
3) Те, кто знакомится с гиперболическими функциями [ссылка], получают единую для формул 3,6, 8-11 и 4,5, 14-17 основу: первая группа - формулы из таблицы производных для тригонометрических функций и обратных к ним, вторая группа формул - их аналоги для гиперболических функций и обратных и ним. Так называемый "длинный логарифм" (старинное название) из формулы 5, - это ареакосинус или ареасинус гиперболический (в зависимости от знака числа a).

Вообще, рекомендую вам сразу написать таблицу интегралов (на основе таблицы производных) на отдельный листочек тетради в том виде, какой вы сочтете наиболее понятным и удобным для запоминания. При этом вам придется продумать и способы запоминания этих формул (связи между этой таблицей и таблицей производных, связи между формулами).

Прошу обратить внимание на модуль в формуле 2 (в вашем задачнике)

S (1 / x ) dx = ln|x|  +C

без модуля будет потеряна левая половина графика функции 1/x.
В таблице производных модуля не было. Желательно его добавить туда: ( ln|x| )' = 1/x.

Третье, что нам предстоит сделать (после 2 мая), - изучить важнейшие типы интегрируемых функций и методы их интегрирования (замены переменной интегрирования). Самым главным является класс дробно-рациональных функций. Функции остальных типов заменой переменной сводят к этому.

Сводная таблица основных методов вычисления неопределенных интегралов [ссылка 3 листа A4 в формате djvu]

Всем студентам к занятию 2 мая иметь её копию. В этой таблице перечислены стандартные для ВТУЗов СССР способы вычисления интегралов. Советские студенты технических вузов обязаны были помнить их все  и для каждого из них уметь доказывать тот факт, что стандартные подстановки (замены переменной интегрирования) обеспечивают вычисление интегралов указанного вида (такие вопросы были в экзаменационных билетах). Вам предстоит освоить на том же уровне только часть этой таблицы (эту часть определяет лектор). Остальными формулами надо будет научиться пользоваться. К занятию 2 мая всем знать таблицу интегралов (это таблица производных, записанная "в обратную сторону"), уметь делать замену переменных в интегралах и уметь пользоваться формулой "интегрирования по частям".

Запись 14.04.2012 23:55  матанализ 1 курс электромех

Следующая проверочная работа - 25 апреля: четыре примера на комплексные числа и два (или три, ещё не определил) графика функций y = f(x). Зачет по этим двум темам - порознь. Работа на 90 минут.

Решать будете на своей бумаге - запаситесь к этому дню двойными листочками. Каждый лист должен быть надписан (номер группы, ФИО, дата) и после окончания работы занумерован в той последовательности, в которой я должен их смотреть. Зачеркнутую автором часть работы за ошибку не считаю (и не рассматриваю). Работа должна быть читаемой; хаос и клинопись не расшифровываю и не проверяю. Электроника (любая) запрещена категорически.

К теме "графики функций" прошу потренироваться на указанных мною задачах из сборника Б.П.Демидовича для ВУЗов и повторить:
- "метод интервалов" определения знака значений функций на промежутках (интервалах) их знакопостоянства;
- преобразования графиков функций, вызванные простейшими изменениями уравнений (добавление постоянного слагаемого к переменной величине, умножение переменной величины на число, добавление минуса к переменной, заключение переменной в модуль);
- свойство чётности и нечётности функции, периодичность;
- выделение полного квадрата в квадратичном трёхчлене ax²+bx+c и использование этого преобразования для построения графика (параболы);
- преобразование выражений вида A * cos t + B* sin t в вид C * cos (t-phi)
- понижение степени косинуса или синуса за счет перехода к кратному аргументу (и обратно, повышение степени);
- свойства и графики основных элементарных функций и обратных к ним.

При построении графиков функций можно (и нужно) рисовать предварительные эскизы (так их и называть "эскиз 1", "эскиз 2" и т.д.) - по мере выявления и учёта всё новых и новых сведений о функции. Эскиз может содержать не весь график, а его часть. Предварительные эскизы можно рисовать уже до вычисления производных и предельных значений функции на краях ООФ. Итоговый рисунок так и должен быть назван: "итоговый рисунок".

В некоторых задачах эскиз графика можно нарисовать очень быстро на основе одного лишь метода интервалов и понимания того, как функция ведет себя на краях промежутков из О.О.Ф (например, y = (x-1)(x-3)/(x-2)²). Если Вам представится такая возможность - пользуйтесь ею, это не запрещено. Но в конце работы, в отчёте, надо будет согласовать свойства графика со знаками производных (т.к. именно в этом заключается суть этой части курса математики). Графики построенные только "по точкам" (т.е. на основе одного лишь вычисления значений функции в нескольких точках) к рассмотрению не принимаю.

Кроме уже оговоренного на последнем занятии умения пользоваться алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел, формулой Муавра, формулой извлечения корня n степени (триг. форма) и корня 2 степени (алг. форма) нужно:

- изучить основные факты из теории полиномов и прорешать задачи на эту тему,
- научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя комплексными коэффициентами и комплексными неизвестными - по формулам Крамера и/или методом Гаусса.

Задачи на комплексные числа для самообучения и тренировки из Сборника задач Ефимова и Демидовича 1 том
[ссылка djvu]:

1.421 - 1.434; 1.435 - 1.441; 1.442 - 1.449; 1.463 - 1.473; 1.485 - 1.488; 1.490 - 1.494; 1.496; 1.497; 1.499; 1.504; 1.505 (подсказка: это вещественная часть степеней экспонент, которые можно сложить по формуле суммы геометрической прогрессии); 1.508-1.521; 1.523 - 1.528; 1.557

В этом семестре мы также должны изучить методы вычисления неопределённых интегралов (т.е. основные классы интегрируемых функций), геометрические и некоторые технические приложения определённых интегралов и познакомиться с несобственными интегралами. Это всё содержание семестра.

Запись 05.04.2012   19:30    Анализ 1 курс электромех

1) Аттестация и допуск к коллоквиуму [ссылка ] (Архив rar; пароль - фамилия лектора маленькими латинскими буквами).

2) Образец построения кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t); y = y(t):

Построение кривой 
x = t+exp(-t)
y = 2t+exp(-2t)
и ее фазовой характеристики.

См. также рекомендации по построению графиков и вычислению пределов с помощью Тейлоровских разложений в записях 2011 года: "Начала анализа, пределы, непрерывность, дифференцирование, формула Тейлора, степенные разложения, ряды" Там же расчетка. Есть шанс, что она будет задана.

Записи для физмеха

Запись 24.05.2012 15:50  2 курс физмех мат. анализ

Выкладываю в jpg два разворота (стр. 216-217   и  218-219) из учебника Ефимова, который рекомендовал ранее [ссылка], с леммой Жордана. Здесь она доказана в более простой формулировке чем та, которая в задачнике Волковысского. Я в классе не сообразил, что можно так сильно упростить формулирову и доказательство. Этой формулировки и этого доказательства (на 1/3 страницы 217) вам хватит. Есть там и пример её применения. Вообще, ещё раз рекомендую эту книгу по теме ТФКП (ряды Лорана и вычеты). Просто  и коротко написана.

Запись 20.04.2012 10:30  1 курс физмех линейная АЛГЕБРА

Самое короткое из известных мне доказательств теоремы Гамильтона - Кэли (характеристический многочлен матрицы аннулируется ею, это основа теории канонической Жордановой формы матрицы) хорошо изложено в учебнике:
      Шикин Е.В. Линейные пространства и операторы. - М.:МГУ, 1987.
Доказательство можно изложить на одной страничке тетрадки (и даже меньше).  Привожу три страницы из указанного учебника, содержащие указанное доказательство [ссылка djvu 174 kb].

Запись 10.04.2012     22:20   Алгебра 1 курс физмех

Выложил две задачи расчетного задания по алгебре. Срок выполнения - две недели.

Номер варианта = номер студента в списке группы (всего 12 вариантов).

Jordan_3.pdf Для заданной матрицы A   3 порядка:
1. Найти характеристический полином и его корни (собственные числа матрицы).
2. Для каждого собственного числа lambda вычислить последовательность чисел
d_n = dim(kern((A-lambda*E)ⁿ))
3. Для каждого lambda по этой последовательности чисел определить порядок Жорданового ящика и порядок Жордановых ячеек в нём.
4. Зная структуру всех ящиков (размеры ячеек в них), написать J - жорданову форму матрицы A.
5. На основании Жордановой формы изобразить в виде "жордановой башни" структуру Жорданового базиса.
6. Тем или иным способом найти Жорданов базис и из него составить матрицу перехода S:   J = S^-1AS
7. Пользуясь S и J вычислить Aⁿ для произвольного натурального n (выкладки должны быть подробны).
8. Написать формулу общего члена последовательности векторов-столбцов X_n = AⁿX₀ . Компоненты (координаты) вектора-столбца  X₀ (начальные значения вектора -столбца X_n) обозначить буквами с двойными индексами x₀₁, x₀₂, x₀₃ 
9. Пользуясь S и J вычислить exp(At) для произвольного вещественного t (выкладки должны быть подробны).
10. Написать формулу общего решения системы дифференциальных уравнений dX/dt = AX. Координаты вектора-столбца  X(0) (начальные значения вектора -столбца X(t)) обозначить буквами с двойными индексами x₀₁, x₀₂, x₀₃.

Jordan_4.pdf Для заданной матрицы A   4 порядка:
Проделать пункты 1 - 5  из предыдущей задачи.
6. Написать Jⁿ для произвольного натурального n. Написать формулу, выражающую Aⁿ через Jⁿ и S (последнюю можно не находить). Уметь обосновать формулы.
7. Написать exp(Jt) для произвольного вещественного t. Написать формулу, выражающую exp(At) через exp(Jt) и S (последнюю можно не находить).Уметь обосновать формулы.

Запись 25.03.2012   22:30   Анализ 2 курс физмех

Подправил предыдущую запись.

Запись 23.03.2012   13:30   Анализ 2 курс физмех

Лектор сообщила мне, что первую часть рядов Фурье, т.е. теорию сходимости в среднем, она излагала близко к учебнику Зорича (2 том) [ссылка] Ничего не знаю об этой книжке, просто сообщаю факт. А вопросы поточечной и равномерной сходимости рядов Фурье она собиралась рассказывать в духе 3 тома учебника Фихтенгольца.

Кроме неравенств Гёльдера и Миновского она просила нас разобрать на практике минимальность системы тригонометрических функций. Этот термин можно понимать так: из этой системы нельзя выкинуть ни одну функцию, потеряется ее свойство быть базисом в пространстве функций, интегрируемых с квадратом.

В самом деле: все функции в наборе Фурье линейно независимы; если выкинем одну из функций - именно её и нельзя будет представить как линейную комбинация остальных.

Как обосновать линейную независимость этих функций? - Если попытаться представить одну из них в виде линейной комбинации остальных, тут же окажется, что коэффициенты разложения должны быть нулевыми, что бессмысленно. Например, попытаемся представить cos x в виде линейной комбинации остальных функций:

cos x  = a₀ + b₁*sin x + a₂*cos 2x + b₂*sin 2x +...

Убедимся, например, что коэффициент a₂ = 0. Для этого скалярно умножим обе части равенства на cos 2x. Получим:

< cos x | cos 2x >  = 0 + 0 + a₂ <cos 2x | cos 2x> + 0+...   ==>    0 = a₂*Pi    ==>   a₂ = 0

Но точно так же можно показать, что и все остальные коэффициенты равны нулю, т.е. функция cos x не получается.

Факт этот чисто алгебраический (из линейной алгебры): ортогональные векторы линейно независимы. А раз так, удаляя один из них из набора, мы не сможем потом именно его представить в виде линейной комбинации остальных векторов, оставшихся в наборе.

Второй раз  "минимальность" упоминается в теории рядов Фурье вот в каком месте: коэффициенты Фурье обеспечивают минимальность разницы между раскладываемой функцией f(x) и тригонометрическим полиномом  P_n(x) , если величину этой разницы измерять (средне)квадратичной нормой
|| f(x) - P_n(x) ||² = S_{(-Pi, Pi)} ( f(x) - P_n(x) )²  dx

Тригонометрический полином выглядит как частная  сумма ряда Фурье, но с   коэффициентами, которые не обязаны быть вычислены по формулам Фурье. Если же его коэффициенты задать равными коэффициентам Фурье, то и получим минимум указанной выше разницы.

Этот факт тоже имеет аналогию в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вот эта аналогия. В многомерном пространстве лежат k попарно ортогональных векторов e₁, e₂ , ...e_k   (k должно быть меньше размерности пространства) и вектор f. Мы ищем такие коэффициенты с₁, с₂ , ...с_k    линейной комбинации s = с₁e₁+ с₂e₂ +...+ с_ke_k   , чтобы длина разницы | s - f | была наименьшей. Особенно ясен смысл такой задачи при k = 2. Тогда множество радиус- векторов
s = с₁e₁+ с₂e₂ (в этой формуле надо перебирать все возможные значения коэффициентов) заполняет собой плоскость, проходящую через (0,0,0) в направлении векторов e₁, e₂ . Искомые коэффициенты дадут нам тот из этих векторов, который является ортогональной проекцией f на эту плоскость. Т.е. факт, привычный из школы: перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до плоскости. В этом случае искомый вектор является суммой  ортогональных проекций f на  e₁ и e₂   (в смысле суммой векторов, имеется в виду проекция - вектор).

Доказательство простое: записываем квадрат минимизируемого расстояния как скалярное произведение

| s - f |² = < s - f | s - f >

раскрываем произведение по слагаемым суммы s и при этом пользуемся отрогональностью её слагаемых. Затем выделяем полные квадраты. В итоге получается выражение, содержащее сумму квадратов, которая минимальна тогда, когда все они равны нулю. Эти-то равенства нулю и дают нам искомые коэффициенты в виде формул Фурье (формул ортогонального проектирования вектора на вектор). Проделайте это сами.

P.S. Можно и средствами матанализа воспользоваться: приравнять к нулю производные по переменным с₁, с₂ , ...с_k   
Это даст точку минимума, т.е. величины этих неизвестных. Вторые производные все равны положительным числам, а смешанные вторые производные равны нулю (во всех точках,  а не только в найденной).

Запись 22.03.2012  11:05  Алгебра 1 куср физмех

Четыре матрицы замены базиса и замены переменных [ссылка doc]

Строим Жорданову башню: снизу вверх и сверху вниз [ссылка html]

Выполнение на компьютере (в Maple) расчетного задания по Жордановой нормальной форме  [ссылка html]

Приложения Жордановой нормальной формы [ссылка ]

Запись 18.03.2012  20:05  Матанализ 1 и 2 курс физмех

Вынесено лектором 2 курса на практические занятия (уметь доказывать):

Неравенство Гёльдера для интегралов [ссылка] - обобщение неравенства (a,b) <= |a| |b| для скалярного произведения двух векторов a,b на тот случай, когда в формуле длины вектора стоят не квадраты, а другие степени (в сумме координат). Доказывается с помощью вспомогательного неравенства для двух чисел x,y , порожденного соответствующим изменением показателей степени в неравенстве для их среднего арифметического и среднего геометрического x^1/2y^1/2 <= (x+y)/2.

Опять оно же, чуть другими словами [ссылка]

Неравенство Минковского для интегралов (неравенство треугольника, модуль суммы не провосходит суммы модулей при ином определении модуля, т.е. длины вектора) [ссылка] - даёт основание использовать интеграл  (S |f-g|^p dx ) ^1/p как норму разности двух функций ||f-g||  - аналог расстояния Евклида - Пифагора (Summa(a_i²-b_i²) )^1/2 = | a - b |, его обобщение на бесконечномерное пространство функций и при этом другие показатели степени.

Первокурсникам иметь эти неравенства в виду (но на экзамене их по идее не должно быть).

Запись 10.03.2012  16:30  Матанализ 1 и 2 курс физмех

Забыл сказать, что квадратичную норму функций ||f||² = S f² dx (интеграл определённый) ещё называют энергетической нормой. Вот пример, объясняющий это название.

    Рассмотрим активное (в смысле не реактивное, т.е. без ёмкостей и индуктивностей, "чисто омическое") сопротивление R и на нём переменное синусоидальное напряжение
       u(t) = U₀ cos(omega*t)
где U₀ - амплитуда напряжения (в вольтах), omega - круговая частота (в радианах в секунду).
В установившемся режиме (квазистационарном) в силу периодичности напряжения тепловая энергия, выделяемая за один период T =  2*Pi/omega будет всегда одна и та же (одна и та же на любом промежутке времени длительностью T). По закону Джоуля - Ленца (? я еще не забыл школьную физику?) на достаточно малых промежутках времени она пропорциональна энергии электрического тока. Для постоянного тока энергию вычисляют, умножая мощность U*I  на время T. Для постоянного тока мощность - постоянная величина и её можно рассматривать как среднее значение энергии на промежутке времени T.
   А для синусоидального тока на достаточно больших (в сравнении с периодом) промежутках времени среднее значение энергии будет сколь угодно близко к среднему за период.
   В самом деле: если промежуток времени равен целому количеству периодов N*T, то среднее равно среднему за один период T (т.к. N в числителе и знаменателе сократится). А если промежуток времени равен NT + delta (где delta < T),   то добавка времени delta порождает добавку энергии за это время; её абсолютная величина меньше величины энергии за период T, а её относительная величина меньше  энергии за время T, деленной на энергию за время (NT) (числитель увеличен, знаменатель уменьшен), т.е. меньше числа 1/N, - следовательно, доюавка сколь угодно мала (в относительном исчислении) при достаточно больших N.
   Так, например, при частоте тока 50 герц ( T = 0.02 секунды) вычисляя энергию за 1 секунду умножением энергии за один период на число 50, мы не вносим никакой ошибки. И за 1,1 секунды,   умножая на 55 (т.к. 1.1 = 0.02*55), ошибки не сделаем, получим точное число. И за 1,12 секунды (умножая среднее за период на 56), получим точное число. А вот если  мы таким же способом  вычислим энергию за  1,135 секунды (умножая на 56, т.к. 1,12 сек =  56 T), - мы получим абсолютную ошибку, не превосходящую энергии за время 1.135 - 1.12 = 0.015  секунды, что в относительном исчислении меньше энергии за 0.02 секунды, деленной на 56, т.е. число, отличающееся от истинного менее чем на 2 %
    Поэтому на больших в сравнении с периодом временах энергию  протекшего сквозь   R синусоидального тока (а заодно и пропорциональное ему выделившееся на R тепло)   можно вычислять так же, как для постоянного тока: умножением энергии за период на протяженность промежутка времени, выраженную в длинах периода.
    Разумеется,  чтобы не заморачиваться пересчетом промежутков времени на количество укладывающихся в них периодов, используют среднюю за период энергию:

     (S u² /R dt) / T  = (U₀² /R) S (cos(omega t))²  dt /T = (U₀² /R) /2

где интеграл взят по промежутку (0, 2*Pi/omega); чтобы составить интеграл, надо сначала составить его Риманову сумму, в которой каждое слагаемое соответствует постоянному напряжению.

    Итого, средняя за период энергия равна U₀² /(2R). Её и называют средней мощностью синусоидального тока, хотя с точки зрения норм русского языка название нехорошее: оно провоцирует нас думать, будто мы осредняли мощность. Нет, мы осредняли энергию.

    Теперь, сравнивая результат вычисления с формулой для постоянного тока U*I =  U² /R
мы видим одно отличие: двойка в знаменателе. Отсюда возникло понятие эффективного среднего напряжения: переменное синусоидальное напряжение на сопротивлении R в установившемся режиме на больших (в сравнении с периодом) временах выделяет столько же тепла (производит такой же тепловой или иной энергетический эффект), как и постоянный ток напряжением  U₀ /sqrt(2).
    Так что, когда мы неосторожно берёмся за сетевой провод, нас дёргает не 220 вольт (это эффективное значение, удобное для расчетов), а большее в sqr(2) раз, т.е. 310 вольт, - стандартная амплитуда напряжения в нашей домовой однофазной сети.

   [В трехфазной сети расчет будет несколько иным из-за того, что по отношению к земле один провод находится под напряжением U₀ cos(omega t), а другой - U₀ cos(omega t + 2*Pi/3). Преобразуйте их разность в произведение для вычисления амплитуды напряжения между двумя проводами, - там возникнут множитель sqrt(3) и 380 вольт. К жилым домам подходят 4 провода трехфазной сети (один из них - земляной), а в квартиры  от неё приходят один фазный и один земляной. Впрочем, сегодня местами уже и два фазных с земляным подводят, а новорусские себе к саунам на дачи тянут по столбам над головами жителей деревни аж 10 kV свитые в пару (!) в поливиниловой изоляции, - чем это кончится?]

Ну а теперь пусть к сопротивлению R приложено периодическое напряжение u(t) несинусоидальной формы, для простоты - без постоянной составляющей. Разложим его в ряд Фурье на промежутке длиной в период T = 2*Pi /omega 

       u = Summa( A_k cos (k*omega*t) + B_k sin (k*omega*t))

где k - номер гармоники, omega - основная (круговая) частота, k*omega - частота гармоники, коэффициенты разложения получаются по стандартным формулам
A_k  = S u(t)*cos( k*omega*t ) dt  / S(cos (k*omega*t))² dt = S u *cos(k*omega*t) dt  / (T/2)
B_k  = S u(t)*sin( k*omega*t ) dt  / S(sin( k*omega*t))² dt = S u *sin(k*omega*t) dt  / (T/2)
(все интегралы по t от 0 до T)

   Чтобы в разложении Фурье увидеть амплитуды U_k гармоник, надо пары слагаемых одной частоты с помощью школьной тригонометрии превратить каждую в один косинус:

       A_k*cos (k*omega*t) + B_k*sin (k*omega*t)  =  U_k*cos (k*omega*t - phi_k)

где амплитуда  гармоники U_k = sqrt(A_k² + B_k²), а сдвиг гармоники по фазе phi_k получаем из двух равенств cos (phi_k) = A_k / U_k; sin(phi_k) = B_k / U_k с помощью арксинуса, арккосинуса или арктангенса с поправкой на II - III - IV четверть, если нужно, по знакам пары чисел (A_k , B_k). - Общую формулу напишите сами, рассматривая пару (A_k , B_k) как точку вспомогательной плоскости.

Если мы теперь будем вычислять среднюю за период энергию
       (S u² /R dt) / T
у нас возникнет интеграл от квадрата суммы
(S (Summa( A_k cos (k*omega*t) + B_k sin (k*omega*t)))² dt) / (RT)
(суммы бесконечной, так что при аккуратном изложении мы должны будем написать предел интеграла от произведения конечных сумм, т.е. частных сумм ряда Фурье). Раскрываем этот квадрат суммы и интегрируем его почленно. Все смешанные произведения под действием интегрирования обнулятся за счет периодичности подинтегральных функций (для этого произведения синусов - косинусов, синусов - синусов и косинусов - косинусов надо преобразовать в суммы), а квадраты - не обнулятся интегрированием, потому что  при понижении степени
cos²a = (1+cos 2a)/2, sin²a = (1-cos 2a)/2
они дадут постоянные слагаемые = 1/2. Проделайте это сами.

В итоге у нас получится сумма квадратов коэффициентов ряда Фурье, делённых на 2R:
    (S u² /R dt) / T  =   Summa( A_k² + B_k²) / (2R)
то есть сумма квадратов амплитуд гармоник, делённых на 2R
    (S u² /R dt) / T  =   Summa( U_k² / (2R) ))
которая есть сумма средних за период энергий гармоник (ведь каждая из них - синусоидальный ток!).

Таким образом, теорема Пифагора (квадрат гипотенузы есть сумма квадратов катетов) получила удивительное применение: оказывается, она выражает среднюю за период энергию тока сквозь активное сопротивление R через средние энергии гармоник разложения Фурье. 

Напоминаю, что в теории ортогональных функций теорема Пифагора имеет важнейшее применение: её рассматривают для всех возможных функий u(t), интегрируемых с квадратом. Если оказывается, что она верна для всех функций u(t), то систему ортогональных функций, по которым было произведено разложение (не  тригонометрия Фурье, другие функции), можно использовать как базис. Само равенство в этом случае называют равенством Парсеваля - Стеклова (правильнее было бы назвать его тождеством). Оно позволяет в пространствах фунций обойтись без понятия "размерность пространства", т.к. позволяет выяснить, хватит ли ортогональных функций в рассматриваемом их наборе для того, чтобы быть базисом. Например, если мы удалим из набора Фурье
       1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...cos nx, sin nx,...
самую первую функцию (единицу), мы получим набор ортогональных функций, в котором бесконечно много функций, но их не хватает для выполнения тождества Парсеваля- Стеклова: не могут быть разложены те функции, у которых среднее значение не равно 0.
     Однако если мы рассмотрим функции f, интегрируемые на промежутке (-Pi,Pi) с квадратом,  удовлетворяющие дополнительному требованию равенства нулю их среднего значения
          S f dt /(2*Pi) = 0
то для такого (под)пространства набор ортогональных функций
       cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...cos nx, sin nx,...
будет полным, - это нам покажет тождество Парсеваля- Стеклова. Т.е. это базис, этих ортогональных функций хватит для разложения любой другой функции пространства.
    То, что дополнительное требование равенства нулю среднего значения не заставит наше пространство перестать быть пространством, следует из линейности операции вычисления среднего ( линейная комбинация функций с нулевым средним есть опять функция с нулевым средним). Точно так же из набора Фурье можно выкинуть все косинусы, если ограничиться подпространством нечетных функций. В бесконечномерных пространствах функций понятие размерности пространства становится размытым не столько потому, что пространства бесконечномерные, сколько потому, что можно предъявить не равномощные друг другу базисы. Но это уже см. в учебниках по ФА.

Запись 10.03.2012  12:10  матанализ 2 курс физмех

Насчет интеграла S ln(Г(x)) dx всё оказалось просто: антидемидович делал отсылку к задаче 16 той же главы. В ней дифференцированием по параметру вычисляется интеграл
S ln ((a*cos x)²+ (b*sin x)² ) dx
А я ошибочно заглянул в задачу 16 другой главы, про ряды. И наткнулся на возможность выразить неопределенный интеграл S ln(sin x) dx через полилогарифм, который, в свою очередь, тесно связан (заменой переменной) с рапределениями Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна [ссылка].
Ошибаться, оказывается, иногда полезно. Когда смотрел в интернете статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака, наткнулся на экспоненте.ру  на иллюстрированный в Maple курс Цыганкова по квантам.   Молодым физикам полезно и, надеюсь, интересно будет [ссылка]. Это именно то, что позволяют нам делать разложения по системам ортогональных функций. У меня с течением времени к квантам сложилось отношение как к теории, которая приспособила теорию собственных колебаний упругих балок и поверхностей (краевые задачи математической физики) к описанию явлений микромира. Рекомендую именно так на неё и смотреть в первом приближении к ней, хотя она на самом деле многолика.
   В студенческие годы меня очаровала в ней идея ввести в рассмотрение наблюдаемые и ненаблюдаемые величины,  не наблюдаемые совместно. Я не сомневаюсь, что эти понятия надо сделать одними из тех, которые излагают в стандартном курсе высшей математики. Вот только за 40 лет не собрался сделать это. Буду рад, если кого-то такая идея заинтересует.

Запись 09.03.2012  21:50  матанализ 2 курс физмех

   Задачу вычисления интеграла S ln(Г(x)) dx на промежутке (0,1) мы благодаря тождеству
Г(x)*Г(1-x)= Pi/sin (Pi*x))
по подсказке антидемидовича свели к вычислению интеграла S ln(sin (Pi*x)) dx на промежутке (0,1).
   Неопределенный интеграл такого вида с помощью перехода к комплексной переменной выражается через специальную функцию "полилогарфим" (вводится в виде степенного ряда), которая, в свою очередь,  заменами переменной превращается в интегралы Бозе-Эйнштейна или Ферми-Дирака  (вычисление вероятности нахождения бозе- или ферми- частицы в заданном состоянии).

Запись 01.03.2012    18:45   матанализ 1 курс физмех

Отвечаю на вопрос о примерах неквадрируемых фигур (фигур, площадь которых невозможно определить с помощью всевозможных последовательностей вписанных и описанных наборов смежных квадратиков).

Такой пример есть в 1 томе Математического анализа Ильина - Позняка (стр.381 Дополнение к главе II Пример неквадрируемой фигуры). Верен ли он - не проверял. Его идея - получить замкнутую кривую предельным переходом.

Пример разрывной функции, не интегрируемой по Риману, - функция Дирихле
    y =1 для рацональных чисел x, y=0  для иррациональных x (индикатор рациональности числа x).
Если пытаться брать интеграл по Риману по промежутку [0,1],  то верхние суммы Дарбу (суммарная площадь объемлющих прямоугольников) при любом разбиении промежутка [0,1]  будут равны 1, а нижние суммы Дарбу - ноль. С точки зрения интеграла Римана подграфик этой функции не имеет площади (из-за этой разницы). Получается, что сам график этой функции должен бы был иметь площадь = 1. Но квадрированием и этого не получить. А вот интеграл Лебега (его по-другому определяют) покажет более разумный результат: площадь подграфика равна нулю. Но функция Дирихле - разрывная, причем в каждой точке. А пример непрерывной функции, которая не имела бы площади подграфика по Риману, построить невозможно, - все непрерывные функции интегрируемы по Риману (и не только они). Можно построить неквадрируемые фигуры (см. Ильина - Позняка), ограниченные замкнутыми непрерывными кривыми, но все эти кривые не являются графиками каких-либо функций  y=f(x).

Еще один интересный пример -  снежинка Коха (см. статью "Фракталы - странности реального мира" из старого журнала Техника-молодёжи, ссылка внизу). Длина у неё (у линии) бесконечная, диаметр конечный, касательной нет ни в одной точке, площадь ограниченная ею - конечная (легко сосчитать),  а вот насчет квадрируемости площади... не уверен, что получится. Прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат, да еще  с требованием их всевозможности... -  довольно грубый инструмент. Хотя проверить не мешает. Каждую из ломаных, которая является одной из последовательности, пределом которой является снежинка Коха, квадрировать наверняка можно, притом с любой точностью. Не следует ли отсюда, что и снежинка Коха квадрируема? - Кому интересно, можно заняться.

Запись 01.03.2012    18:00     матанализ 2 курс физмех

Существенно переделал  комментарий в предыдущей записи.

Запись 27.02.2012    22:00     матанализ 2 курс физмех

Для 2 курса ФМФ нашёл кратко написанную книжку по степенным рядам и их приложениям, оротогональным функциям и разложениям в ряд по ним (в том числе рядам Фурье), началам ТФКП:
А.В. Ефимов. Математический анализ (специальные разделы) 1-й том 1980 год [ссылка] (Это тот самый Ефимов, который позже стал соавтором многотомного задачника Ефимов-Демидович).

Возьмите оттуда главы о степенных разложениях (рядах) и разложениях по ортогональным функциям. Это для нас актуально. Написано кратко и настолько понятно (почти везде), что читать можно не подряд.

Комментарий. Видимо, А.В. имел цель написать руководство для инженеров. Поэтому он   упростил язык, опустил некоторые доказательства, ослабил условия теорем и требования определений. Но он несколько переусердствовал в стремлении к краткости: не связал важнейшие понятия с их аналогами в линейной алгебре. Это ведет  к невозможности усвоить новые, важные для современного инженера знания из этой области, - очень они разнообразны и в начале изучения возникает путаница в сознании. Ей способствует употребление одних и тех же слов в разных смыслах. Поэтому я здесь постараюсь немного возместить этот недостаток, - расскажу об аналогиях в теории разложений по ортогональным системам функций и в линейной алгебре.

1) Формулы для коэффициентов
        a_n = S f(x)cos(nx) dx /  Pi;     b_n = S f(x)sin(nx) dx / Pi;   a₀ = S f(x)dx /(2 Pi);                 (1)
(все интегралы - по промежутку (-Pi,Pi) );
ряда (разложения) Фурье
        f(x) = a₀ + Summa (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))                                                                           (2)
по системе тригонометрических функций 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...cos nx, sin nx,...
(для простоты я написал все формулы для промежутка [-Pi,Pi], на другой промежуток их приспосабливают просто:  растяжением - сжатием и сдвигом всех синусоид вбок; тогда и в интегралах  пределами интегрирования станут края нового промежутка)
На самом деле эти формулы для коэффициентов уже знакомы вам по курсу линейной алгебры.
В самом деле, посмотрите на формулы коэффициентов
    v_k = < v | e_k > / < e_k| e_k >  = < v | e_k > / ||e_k||²                                                                      (3)
      (где угловыми скобками <> с вертикальной чертой | вместо запятой  я вслед за Дираком обозначил скалярное произведение векторов)
в разложении вектора v
    v = Summa (v_k e_k)                                                                                                                 (4)
по ортогональному базису e₁, e₂, e₃  (в n-мерном пространстве будет n векторов).
Формулы (1) получаются из (3), если принять формулу скалярного произведения функций:
    < f | g > = S f(x) g(x) dx  (интеграл по промежутку  (-Pi,Pi))
В самом деле, тогда числители (1) уже имеют вид числителей из (3), и знаменатели - тоже:
<1,1> = S 1² dx = 2*Pi
<cos nx, cos nx> = S(cos nx)² dx = S(sin nx)² dx = Pi
<sin nx, sin nx> = S(sin nx)² dx = S(sin nx)² dx = Pi
Иными словами на разложения по системе ортогональных функций надо смотреть как на разложения вектора в сумму ортогональных векторов. Именно на это и указывает нам термин "ортогональные функции".
Мелкое отличие в последней формуле (1) - наличие двойки в знаменателе. Чтобы сделать формулы (1) уж совсем похожими, общую формулу разложения Фурье нередко пишут не в таком виде
a₀+ Summa (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))
а вот в таком
a₀/2 + Summa (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))                                                                                                     (2a)
Это равноценно использованию немного измененного набора базисных функций:
    1/2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...cos nx, sin nx,...
На само разложение это не влияет никак, меняется лишь формула вычисления коэффициента a₀ , - она лишается двойки в знаменателе и   становится зрительно более похожей на остальные формулы, у которых в знаменателе Pi.
     Вообще говоря, я в точности не знаю, чем исторически продиктовано выделение a₀ в отдельное слагаемое в формуле (2). Ясно, что оно однотипно со слагаемыми a_n cos(nx) (надо взять n=0). А  вот  аналогичное слагаемое b_n sin(nx) при n=0 равно нулю. Но ноль добавить к системе ортогональных функций нелья, это сделает её линейно зависимой. Именно с этим я связываю то, что слагаемое a₀ пишут отдельно от общей суммы. Но, вообще говоря, включение слагаемого a₀ в общую сумму используют. Это происходит в ТФКП, когда ряд Фурье с помощью формулы Эйлера записывают в виде суммы экспонент
      Summa (c_n exp(i n x))                                                                                                                        (5)
что позвволяет рассматривать ряд Фурье как значения степенного ряда  Summa (c_n zⁿ) в точках окружности |z| = 1.

   Так что во всех проблемах с коэффициентом a₀ нет ничего, кроме личных предпочтений в обозначениях. Путаница  в   этих вопросах у студента нередко возникает в связи с нормировкой. Точно так же как в линейной алгебре, систему базисных функций можно нормировать - делить их на их "длины" (норму). При использовании в качестве ортогональных функций набора 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...cos nx, sin nx,... (Фурье) квадраты их норм
||1||² = <1,1> = S 1² dx = 2*Pi
||cos nx||² = <cos nx, cos nx> = S(cos nx)² dx = S(sin nx)² dx = Pi
||sin nx||² = <sin nx, sin nx> = S(sin nx)² dx = S(sin nx)² dx = Pi
Поэтому нормировка потребует от нас разделить функции cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,...cos nx, sin nx,...на корень из Pi, самую первую функцию (единицу) разделить на корень из 2*Pi. Тогда в формулах (3)  исчезнут знаменатели. Зато они появятся в разложении (2) и в интегралах числителей формул (1). Так что все эти преобразования формул сводятся лишь к тому, где мы предпочитаем видеть эти коэффициенты - в (2) или в (1).

2) Неравенство Коши - Буняковского - Шварца для интегралов (или сумм рядов)- это хорошо известное неравенство |cos phi| <= 1 или  |ab| <= |a| |b|, записанное через скалярное произведение
< ab >²  <=  < aa > < bb >                                                                                                                (6)
Т.е. опять формула из аналитической геометрии и линейной алгебры, но написанная  для функций, как бесконечномерных векторов. Именно за то, что неравенство распространили на функции, его и назвали именами тех, кто это распространение делал (на все более и более широкую область применения). Это вовсе не первооткрыватели его.

3) Равенство Парсеваля - Стеклова в теории рядов Фурье (и других ортогональных функций)
S f ² dx = Summa ( a_k² + b_k²)  (я написал его вид для системы нормированных триг. функций)                              (7)
- это теорема Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квалратов катетов) 
||v||² = < v,v > =  Summa( v_k²)
(где v_k - катеты со знаком, т.е. проекции вектора v на векторы ортонормированного базиса).
Но опять же (7) - это равенство для функции,   как  вектора бесконечномерного   пространства, обладающего счетным ортонормированным базисом {g_k(x)}. Левая часть равенства есть скалярное произведение функции самой на себя, а правая часть - сумма квадратов чисел, её проекций на векторы ортнормированного базиса (вычисленных опять же с помощью скалярного произведения).
      Если равенство Парсеваля - Стеклова выполняется для всех функций из пространства,  то, значит,  не забыт ни один из катетов (иначе из равенства получается неравенство). А если равенство не выполняется хотя бы для одной функции, то тогда систему ортогональных функций {g_k(x)} надо признать неполной, - в ней не хватает функций для того, чтобы быть базисом пространства.
    Аналог в линейной алгебре: два ортогональных вектора в трехмерном пространстве не могут служить системой образующих для всех векторов пространства, нужно три вектора. Два ортогональных вектора в R³  - неполная система. Три ортогональных вектора в трехмерном пространстве - полная система (в смысле "набор ортогональных векторов"), - к ней невозможно добавить еще вектор, который был бы ортогонален к этим трём. Их линейная независимость обеспечивается их ортогональностью, их три, потому они являются базисом трехмерного пространства. В бесконечномерном же пространстве функций размерность пространства не очень-то и определишь... потому нужны другие подходы. Вот равенство Парсеваля и есть такой подход.

   Кроме полноты системы оротогональных функций, в анализе есть другое  употребление слова "полнота", - как синонима непрерывности (континуальности) множества вещественных чисел R (и пространств Rⁿ , а также некоторых пространств функций и последовательностей чисел).
В чем его суть? - Мы знаем, что в R всякая сходящаяся "в себе" (по Коши) последовательность чисел имеет предел (в отличие от Q,  в нем это не так).
Это - Н. и Д. признак Коши для сходимости последовательности чисел.  Его прелесть в том, что для его употребления не нужно знать предельного числа, к которому сходится последовательность.  R именно для этого (для полноты системы чисел) и изобрели, - Q не могло обеспечить потребностей Евклидовой геометрии в системе координат Декарта. Это понимали уже ученики Пифагора, открывшие, что корень из двух не рациональное число. Это знакомо школьникам.
   Человечеству понадобилось 100 лет после Пифагора, чтобы обнаружить иррациональность корня из двух. Это открытие обрушило веру в числа, как в бога, который управляет миром (Пифагор). Поэтому потом примерно 500 лет числа (алгебра) не играли главной роли в науке, главной стала геометрия. Но после появления метода координат Декарта люди вынужденно изобрели R и доктрина Пифагора неявно возродилась. Еще 500 лет люди осознавали, что же они сделали над Q, создав R. А теперь этот приём - "пополнение" - является обычным в математической физике. Сплошь и рядом можно прочесть в книжках и статьях: "рассмотрим пополнение такого-то пространства функций". Теперь всем понятно, что полнота - это не то свойство R, которое надо доказывать. Это свойство, которое мы добавили к свойствам множества Q по нашему произволу: мы пополнили Q, добавили к рациональным числам "пределы" всех сходящихся в себе последовательностей рациональных чисел (грубо говоря).

  Вот простейший пример пространства функций, не обладающего полнотой: множество непрерывных на промежутке [-1,1]  функций с нормой
||f-g|| = max|f-g| на  [-1,1] (равномерная норма).
Несложно проверить, что последовательность вот таких кусочно заданных функций
y_n(x)  = 1 для x> 1/n,
y_n(x)  =-1 для x<-1/n,
y_n(x)  = nx для остальных точек,
- в этой норме сходится в себе, но предел-то у неё - разрывная функция sgn(x), т.е. вне множества непрерывных функций.
   Это  в точности так же, как предел последовательности все более точных рациональных приближений корня из двух, -   число иррациональное.

В теории рядов по ортогональным функциям главный вопрос - сходится ли ряд к раскладываемой функции. Коэффициенты-то ряда вычислить можно по формулам (3), главное в них интегралы взять, - вопрос  в том, сходится ли ряд к раскладываемой, и если сходится, то в каком смысле (в какой норме).

Академик Стеклов (его имя носит институт математики РАН) первым рассмотрел вопрос о связи между полнотой системы ортогональных функций (в смысле выполнения равенства Парсеваля) и полнотой пространства функций (в смысле наличия предела у всех сходящихся в себе последовательностей функций). Как правило, этот вопрос является основным в учебниках по этой теме (исключая разве лишь старые учебники). Ответ на вопрос "гарантирует ли равенство Парсеваля   (полнота используемой для разложения системы ортогональных функций) полноту пространства всех функций" зависит от того, как мы, при заданной системе ортогональных функций,   зададим формулу для вычисления разницы между двумя функциями, т.е. от того, какую метрику (норму) мы используем в  определении предела последовательности функций.

4) Краевая задача Штурма- Лиувилля для дифференциального уравнения (нередко, - второго порядка с переменными коэффициентами):
найти число lambda и функцию y(x), удовлетворяющую дифф. уравнению
(p*y')' + q*y = lambda*y
и некоторым условиям на краях промежутка для переменной x
(самый простой пример краевых условий - функции на краях равны нулю y(a)=0, y(b)=0;
- таковы условия в задаче о поперечных колебаниях горизонтальной упругой балки, закрепленной на концах).

Задача Ш.-Л. имеет аналог в линейной алгебре: задачу на собственные числа (значения) и собственные векторы линейного оператора:
Ax = lambda*x
(То, что у последней нет никаких краевых условий, обходится так: в задаче Ш.-Л. рассматривают оператор, в который как координаты трехмерного вектора включены и операторы вычисления функции в краевых точках из левых частей уравнений краевого условия )
В линейной алгебре переход к ортонормированному базису из собственных векторов симметричной матрицы A (A=A^T , т.е. a_ij=a_ji) обеспечивает приведение к каноническому виду квадратичной формы x^TAx = Summa (a_ij x_i x _j).
Выяснение ортогональности векторов требует скалярного произведения.
  Разложение вектора по ортогональному базису тоже требует скалярного произведения (конкретнее, - ортогонального проектирования)
  Точно так же в теории функций для выяснения их ортогональности и для разложений нужно скалярное проиведение. Для системы синусов и косинусов Фурье 
1,cos (x), sin (x), ...cos (nx), sin (nx), ...
скалярное произведение = интеграл S f*g dx по промежутку длиной 2*Pi. Это я уже сообщил.

А в теории часто употребляемых ортогональных функций Чебышёва, Эрмита, Лагерра, Лежандра и т.д. скалярное произведение вводят с помощью определенного интеграла немного иной структуры:
< f | g > = S p(x) f(x) g(x) dx.
(В левой части я использовал для скалярного произведения обозначения Дирака брэ-кет "ско-бки")
Здесь функцию p(x) > 0 задают навсегда и называют весовой функцей. Каждому из семейств ортогональных функций (Чебышёва, Эрмита,...) соответствует свой промежуток интегрирования и своя весовая функция  p(x).  Многие из этих функций - полиномы. При желании первые члены их семейства можно построить, подвергая процессу ортогонализации Грама - Шмидта систему функций 1, x, x², x³, x⁴, ...xⁿ,... - такое упражнение обычно делают в линейной алгебре.

    Формула S p(x) f(x) g(x) dx - аналог формулы скалярного произведения из линейной алгебры
(a, b)  = Summa(p_i a_i b_i)
где p_i > 0 - весовые коэффициенты (составная часть формулы скалярного произведения, заданная навсегда), делающие некоторые координаты векторов a, b более значимыми, чем остальные.

    Есть и другие способы (формулы) задать скалярное произведение функций. Все они должны быть билинейными симметричными функционалами (такое слово применяеют для оператора, у которого аргументы - функции или векторы, а значение - число) от пары функций (векторов), удовлетворяющая неравенству Коши-Буняковского-Шварца.

Замечание для физиков: в случае комплексных координат билинейность заменяется "полуторалинейностью" (числовой множитель второго вектора выносится за знак скалярного произведения в комплексно сопряженном виде, взаимодействие с операцией суммирования векторов -обычное), а требование симметрии произведения заменяется требованием комплексной сопряженности  (a, b) = conjugate(b, a) .  Последняя обеспечивает вещественность и положительность скалярного произведения комплексного вектора на себя  (чтобы (a, a) можно было использовать как квадрат длины вектора |a|²). - Это работает в квантовой механике.

Слово "сопряженный" в линейной алгебре используется в ещё одном смысле: линейные операторы A и B называют взаимно сопряженными (не путать с сопряжением комплексных чисел), если для всех векторов u,v верно тожество (Au,v) = (u,Bv), т.е. оператор можно перенести на другой сомножитель, но только надо его при этом заменить на сопряженный (A*=B если переносим слева направо и B*=A для обратного переноса).
   В линейной алгебре, когда мы задаем систему координат (базис), все векторы становятся столбцами, а линейные операторы - матрицами. Тогда  сопряжение операторов реализует операция транспонирования матриц A* = B^T
(и комплексного сопряжения - это для комплексных матриц: A* = conjugate (B^T) - комплексный вариант используют в матричной квантовой механике).
   Если же скалярное произведение задают с помощью матрицы Грама G (матрица - таблица величин скалярных произведений базисных векторов, её еще называют метрическим тензором) (a, b) = a^TGb = Summa(g_ij a_i b_j ) ,  то в формулу сопряжения операторов (матриц) вмешивается еще и G (это используют в теории анизотропных сред и в ОТО). - Аналогом такого скалярного произведения в теории пространств функций является формула SS g(x,y)*a(x)*b(y) dx dy. Дирак обозначил такой интеграл < a |g| b> - аналог произведения строки (брэ - вектор) на матрицу и на столбец (кет-вектор). Но это к слову, ради полноты картины.

    В линейной алгебре, в теории квадратичных форм доказано, что собственные векторы, порожденные разными собственными числами самосопряженной (симметричной) матрицы A, оказыватся взаимно ортогональными и их выгодно использовать в качестве базиса (если их хватает в смысле размерности пространства векторов). - Вот это и есть то, что нам нужно в прикладной теории  ортогональных функций.

Вернемся к формуле < f | g > = S p(x) f(x) g(x) dx на интервале (a,b).

Если рассматривать только те функции, которые равны 0 на краях этого интервала, то вот такой линейный оператор A(y)= (p(x) y')' + q(x)y оказывается самосопряженным в том самом смысле, который нам дала линейная алгебра:
< A(f) | g > = < f |A(g) >
- это легко проверить, вычисляя первое скалярное произведение (дважды интегрировать по частям).

И тогда теорема из линейной алгебры, гласящая, что собственные векторы, порожденные разными собственными числами, взаимно ортогональны, непосредственно переносится сюда. Тогда мы, как в алгебре, можем искать собственные числа и собственные функции этого оператора:
    (p(x) y')'+q(x) y = lambda*y
и пытаться использовать их как систему образующих пространства функций (раскладывать по ним функции в ряды). Если все собственные числа будут простыми (не кратными, "спектр простой"), то соответсвующие им собственные функции взаимно ортогональны (в указанном скалярном произведении).
Важность для нас такого подхода к рядам по системам ортогональных функций во-первых в едином подходе к очень большому числу задач, и во-вторых в том,  что к такому уравнению сводится много практических задач на колебания и волны, а также на распространение тепла.  В частности, в механике малых колебаний линейно упругой балки, закреплённой на краях (или круглой мебраны, или сферы и т.п.) эти собственные функции отвечают так называемым собственным (или резонансным) колебаниям. Все остальные колебания (без вынуждающей силы и без трения) являются их линейными комбинациями. А собственные числа отвечают резонансным частотам колебаний. В квантовой механике подобные же разложения используют для описания чистых состояний системы (если мне память не изменила, - я с этим уже 40 лет не сталкивался)

Вопрос, отличающий эту теорию от теории в линейной алгебре, состоит вот в чём: хватит ли собственных функций g₁(x), g₂(x), g₃(x),... для того, чтобы быть системой образующих, т.е. все ли функции f(x) из рассматриваемого пространства являются их линейной комбинацией f(x) = Summa(a_kg_k(x))
т.е. сходятся ли ряды разложения к раскладываемым функциям f(x) ?

И вот тут появляется вопрос: о какой сходимости ряда идёт речь? Имено его надо задавать себе в первую очередь, когда читаешь учебник. Поясняю.

  Вы уже знаете, что функциональный ряд   может сходиться в каждой отдельной точке x (поточечная сходимость).
  А может сходиться равномерно относительно переменной x.
В первом случае у нас последовательность частных сумм  s_n(x) в каждой отдельной (фиксированной) точке x стремится к  f(x) . Т.е. там определение предела надо начинать со слов "для любого x", затем уж ставить слова "для любого эпсилон". Получается, что номер N, начиная с которого разница |s_n(x) - f(x)| < epsilon, зависит не только от epsilon, но и от выбранного нами числа x. И поэтому для разных x скорость сходимости ряда будет разной (или сходимость вообще исчезнет).
А во втором случае (равномерной сходимости) эта разница должна не зависеть от выбора числа x, - и ради этого в определении предела слова "для любого x" передвигают с первого места на место перед неравенством |s_n(x) - f(x)| < epsilon. Это обеспечивает  выполнение этого неравенства для всех n> N сразу для всех x; и теперь N зависит только от эпсилон и не зависит от x. - В этом отличие равномерной сходимости от поточечой. В случае равномерной сходимости у нас есть приятное (в некотором смысле) свойство: бесконечная сумма непрерывных функций от x оказывается опять непрерывной от x  (т.е. предел при x-->x₀ бесконечной суммы функций равен сумме их пределов, а уж интеграл - и  подавно).

Вопросы поточечной и равномерной сходимости для частного случая - тригонометрических функций Фурье - были изучены во времена чуть ли не самого Фурье (несколько позже). Они изложены в 3 томе Фихтенгольца и в кратком виде - в предложенной  выше книжке Ефимова (см. формулы Дирихле).

Идея ввести в рассмотрение скалярное произведение функций до самого некуда облегчает запоминание формул типа (1) для коэффициентов разложения по любым наборам (а их много) ортогональных функций, - просто пишем (3), к которым привыкли в линейной алгебре при разложении вектора по ортогональному базису. - Это настолько полезно, настолько вносит упорядоченность и ясность в основные понятия, что отказаться от этого было невозможно. Понятия "ортогональные функции" и "скалярное произведение функций" поэтому стали необходимыми.

  Но они же поставили вопрос: а что еще можно получить на их основе?
- Вот что можно: в определении предела последовательности частных сумм s_n(x) изменить формулу для вычисления величины разницы |s_n(x) - f(x)| другой, т.е. мы можем получать другие определения сходимости функционального ряда.
     Например, равномерная сходимость оказывается частным случаем этого подхода, если взять ||s_n(x) - f(x)|| = Sup|s_n(x) - f(x)| (т.е. "равномерную норму"). Тогда слова "для любого x" нужно вообще изъять из определения предела последовательности s_n(x). Естественно, встает вопрос о Н.и Д. признаке Коши (сходимость в себе в этой норме как критерий равномерной сходимости), т.е. о полноте пространсва рассматриваемых функций (той самой полноте, которой множество вещественных чисел R отличается от множества рациональных чисел Q, и ради которой люди его и изобрели).

И если уж мы ввели скалярное произведение функций, то естественна идея измерять разницу между функциями с его помощью: 
    ||f-g||² = < f-g |f-g > = S p (f-g)² dx

Такой способ измерения разницы функций называют квадратичной нормой, а сходимость ряда (т.е. последовательности его частных сумм) в такой метрике (норме) к раскладываемой функции f(x) называют среднеквадратичной сходимостью. Объяснение термина "среднеквадратичная", вероятно, таково: если этот интеграл ещё и разделить на длину промежутка интегрирования (b-a), то формула станет похожа на сумму квадратов чисел, деленную на их количество. Впрочем, в силу равенства Парсеваля - Стеклова (теоремы Пифагора) этот интеграл и в самом деле представляет собой сумму квадратов чисел. Но вот только их бесконечно много и откуда тогда взять первую часть слова "среднеквадратичная" - не знаю.

Разберем, чем среднеквадратичная  норма интересна.
Если вспомнить 1 курс, то интеграл Pi S y² dx - это объем тела, граница которого получена вращением кривой y=y(x) вокруг оси OX. Отсюда становится ясна особенность среднеквадратичной нормы: если ||f-g|| малое число, то отсюда не следует, что f(x) мало отличается от g(x) во всех точках x.
Интеграл S (f-g)² dx вообще не заметит того факта, что f и g в какой-то одной точке x очень отличаются друг от друга (ведь объем бесконечно тонкого диска равен нулю).

Поэтому в этой норме результаты о сходимости рядов формулируют в виде  "ряд сходится почти всюду" (синоним: "ряд сходится везде, за исключением множества точек меры 0", - как правило, речь о нескольких точках или не более чем счетном их множестве).

Эта особенность среднеквадратичной нормы подвигла людей на ее усовершенствование. Например, такое:
||f-g||² =  S ( (f-g)² + (f '- g')² )dx
Добиваться минимальности такой нормы разности (f-g) - значит добиваться близости не только самих функций, но и их производных. Эта норма порождается таким скалярным произведением:
< f | g > =  S ( fg + f 'g' )dx

В формуле можно использовать и производные более высокого порядка (больше слагаемых). Пространства, полные в таких нормах, называют пространствами Соболева. Для этих пространств есть теоремы вложения (одного в другое с согласованием норм).

Запись 27.02.2012 12:30   матанализ 2 курс физмех

Выложил решение задачи 2845 из сб. Демидовича для ун-тов: разложить в ряд по степеням x функцию  y= sin (mu*arcsin x) [ссылка] В антисоветском антидемидовиче ее решения не нашел (ещё одно подтверждение моих слов о его урезанности). Советский антидемидович использует готовое решение задачи 1221(б) (значения производных этой ф-ции в точке 0), - ссылается на свой 1 том, которого у меня нет.

Я взял идею решения из теории полиномов Чебышёва
cos (m arrcos x)
(из темы "оротогональные функции"). Примененный метод - искать решение в виде степенного ряда, - есть элемент общей грамотности для студентов физмеха. На нём держится практически вся теория классических ортогональных функций, возникающих при решении методом Фурье разделения переменных дифференциальных уравнений в частных производных классической матфизики (колебания/волны и распространение тепла в балках и симметричных телах). Разумеется, этот приём опирается на теорему единственности решения задачи Коши (дифф. ур. + нач. усл.) и на теорему о единственности разложения функции в степенной ряд (ряд Тейлора - Мак-Лорена).

Запись 26.02.2012 16:20   матанализ 2 курс физмех

Примерный план лекций по математическому анализу для 2 курса ФМФ (4 семестр) [ссылка pdf]. Используйте его как руководство к действию.

1 курс. Решение задачи № 1889 из "Демидович для ун-тов" (вычисление интеграла)
[ссылка djvu]. Более красивого способа не нашел, реализовал тот, который мы сразу нашли в классе: разложил знаменатель дроби в произведение двух квадратичных полиномов, пользуясь симметрией коэффцицентов полинома 4 степени (в знаменателе подинетгральной функции). В современном (антисоветском) антидемидовиче этой задачи не нашёл.

Запись 24.02.2012 21:15  алгебра 1 курс физмех

!!!  Лекции по алгебре. Классификация кривых 2 порядка на плоскости [ссылка djvu].

!!!  Лекции по алгебре. Поверхности 2 порядка [ссылка].

Запись 24.02.2012 21:15  матанализ 1 курс физмех

!   Метод Остроградского [ссылка djvu] сведения интеграла от правильной алгебраической дробной функции P/Q к интегралу от правильной дробной функции с теми же самыми полюсами (корнями знаменателя Q), но только первой кратности. Прелесть метода в том, что не требуется искать полюса (корни знаменателя Q), -достаточно алгоритмом Евклида найти Н.О.Д. знаменателя Q дроби и его производной Q'.
   Вычисляемый интеграл S P/Q dx приравнивают к правильной дроби, у которой в знаменателе найденный Н.О.Д. плюс интеграл от дроби, у которой в знаменателе полином Q / Н.О.Д. (т.е. полином с корнями первой кратности, такими же, как у исходного Q). Записывая такое разложение с буквенными коэффициентами в числителях, вычисляя от обеих частей равенства производную ради ликвидации интегралов, получаем возможность найти буквенные коэффциенты числителей способами, обычными для "методов неопределенных коэффициентов".
   В прилагаемом фрагменте учебника очень подробно объяснено, почему это разложение возможно и описан алгоритм Евклида. Показан пример.
   Метод Остроградского не избавляет от необходимости брать полученный, более простой интеграл.
   См. ниже (поиском Ctrl+F ) еще решённый пример на метод Остроградского.

Запись 21.02.2012 10:30 матанализ 1 курс физмех

!!!   Сводная таблица основных методов вычисления неопределенных интегралов [ссылка 3 листа A4 djvu]

Запись 20.02.2012 10:30

!!!  Лекции по алгебре (начальные параграфы про эллипс, параболу и гиперболу, выложено по разрешению лектора) [ссылка]

Запись 11.02.2012 17:55

Выложил построение кривой
x = t+exp(-t)
y = 2t+exp(-2t)
и ее фазовой характеристики.

Запись 10.02.2012 14:00

Для 1 курса ФМФ написал и выложил вычисление пяти определителей из р/з предыдущего семестра.  Ссылка та же самая

Запись 08.02.2012 22: 50

Для группы  1058.  "Фазовая характеристика кривой, заданной параметрически" (вопрос экзамена), - это взято из алгебры многочленов и это просто:  заданы функции x(t), y(t); для такой точки вычисляем угол (для первой четверти это будет phi = arctg(y(t)/x(t));  вот график phi(t) - это оно и есть. В алгебре важно знать, на сколько изменится угол phi, когда точка (x,y) пробежит всю кривую. Экзаменационную кривую, заданную параметрически, выложил (см. выше).

!    Далее сохранены только те записи, которые полезны сегодня.

2011 год и ранее

Начала анализа, пределы, непрерывность функций, дифференцирование функций одного аргумента, формула Тейлора, степенные разложения, ряды

Запись 17.09.2011 19:50
11 лет назад на страничке кафедры в.м. выложил эпсилон-дельта определение непрерывности отображения [ссылка] в заданной точке (Там предисловие, написанное наклонным шрифтом, - для преподавателей, его можно не читать). В нём сейчас gif - мультфильм почему-то не движется, но первого кадра из него нам хватит. Вот контрольный  вопрос студентам (на понимание): в чём отличие этого определения от определения предела (предельного значения) отображения в заданной точке?

Запись 15.09.2011    20:06            исправлена 22:38

Оказалось, что задачник Кудрявцева 1984 г., по которому я указывал номера д.з., отличается от задачника 2003 года, адрес которого я здесь ниже указал, - количество задач и их номера не совпадают. Кроме того, оказалось, за 19 лет задачник потерял связность изложения в справочных материалах, - оно стало отрывочным, не содержит объяснений, оказались исключены сведения, которые придавали тексту живость, приобщали читателя к математической культуре. Например, в старом варианте задачника указано, что обозначения числа размещений A_n^k сочетаний C_n^k и перестановок P_n происходят от французских слов arrangement (ранжировка, приведение в порядок), combination и permutation, что вместе со знанием обозначений, применяемых в англоязычной литературе, было кусочком культуры, который выкинули при переиздании задачника. Издание 2003 года - совсем другая книга, которая дает гораздо меньше и уму и сердцу читателя, чем издание 1984 года.

Не нужно думать, что первое издание во всём нас устраивает. Например в нём есть очень большой недостаток: ничего не сказано о взаимосвязи между алгеброй множеств, алгеброй высказываний их описывающих, и алгеброй Буля.  Т.е. сведения о действиях над множествами и высказываниями  в этом задачнике остались не связаны с действиями в алгебре логики.

!  На самом деле связь "алгебра множеств - алгебра высказываний - алгебра Буля" и есть то самое главное, что здесь надо рассказать студентам. Ведь это то самое средство, которое позволяет нам работать и с множествами и с высказываниями (например, в базах данных в программировании). Чтобы этой похожестью алгебр пользоваться, надо знать аналогии между операциями над множествами, операциями алгебры логики и операциями Булевой алгебры (чтобы свободно переводить всё в Булеву алгебру и обратно). Кроме того, надо знать отличия алгебры Буля от привычной школьникам арифметики, а также уметь пользоваться новыми операциями - отрицанием (дополнением множеств до вселенной U) и импликацией (логическим следованием) во всех их проявлениях (в алгебре множеств, высказываний и Буля).

!  Далее. Для понимания определений  в математическом анализе и теории автоматического регулирования и управления надо уметь использовать кванторы (всеобщности и существования), - для этого необходимо знать, что они являются распространением логических операций И и ИЛИ на произвольные множества (в том числе и бесконечные) и знать о похожести их употребления на употребление операций суммирования (знак "сигма большое" не пропечатался в русской кодировке) и произведения чисел П (пи большое). Надо уметь строить отрицание (по правилам Де Моргана) и понимать, что все переменные, связанные квантором существования, являются функциями всех предыдущих переменных, связанных кванторами всеобщности. Это позволяет понять, что высказывания с переменными (предикаты), связанными кванторами, похожи на суммы и произведения (с использованием знаков Сигма и Пи), в которых пределы изменения индексов взаимозависимы, - это предопределяет трудности (а то и невозможность) перестановки кванторов местами.

Я старался всё рассказать на занятиях, но не уверен, что всем группам рассказал одинаково полно. Чтобы нивелировать эту разницу от группы к группе, ниже выложил три фрагмента справочных данных из задачника Кудрявцева - Шабунина за 1984 год. Издание этого задачника 2003 года  придётся использовать, как вспомогательное.

!!!   1) Бином Ньютона, начала комбинаторики, суммы. Справочные материалы из задачника Кудрявцева - Шабунина 1984 года [ссылка]
!!! Не забудьте освоить обобщение бинома Ньютона на случай нескольких слагаемых (например, для трёх (a+b+c)ⁿ ). Коэффициенты такого разложения иногда называют полиномиальными (по аналогии с биномиальными коэфф-тами). Пример задачи: в разложении (1+3x+5x²)²⁰ по степеням x найти коэффициент при x⁴

!!! 2) Комплексные числа и многочлены. Справочные материалы из задачника Кудрявцева - Шабунина 1984 года [ссылка]

!! 3) Алгебра множеств и логики. Справочные материалы из задачника Кудрявцева - Шабунина 1984 года [ссылка]

!! Самый эффективный способ решения задач на доказательство (точнее - проверку) совпадения двух множеств или на выяснение включенности одного множества в другое) - перевести всё на язык булевых функций (включенности множества A в B отвечает импликация a --> b, которую легко выразить через булевы операции ). После этого останется либо вычислить значения этих функций при всех значениях (0 и 1) булевских переменных (это отвечает всем возможным положениям элемента вселенной U по отношению к данным множествам - "принадлежит - не принадлежит") или преобразовать полученные выражения по правилам алгебры Буля. Обоими способами надо владеть.

Для выражения любых функций Булевой алгебры через три стандартных операции OR, AND, NOT полезны наблюдения: Булева сумма (аналог для OR) равна нулую только тогда, когда все слагаемые равны нулю. А Булево произведение (аналог AND) равно 1 только тогда, когда все сомножители равны 1. Этим можно пользоваться так: функцию, у которой в таблице её значений мало нулей, выгоднее представить в виде суммы произведений, а если мало единиц - то в виде произведения сумм. Это  так называемые дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы записи Булевых функций. Но у нас нет времени на них, хотя знание этого полезно и несложно. Рекомендую изучить как дополнительный материал.

Решения задач на множества посредством штриховки овалов, применявшиеся в школе,  годны максимум для трех множеств A,B,C. Уже для четырех множеств A,B,C,D на плоскости невозможно нарисовать овалы, которые бы обеспечили все возможные 2⁴ =16 положений произвольной точки относительно этих четырех множеств ("принадлежит - не принадлежит").

Запись 24.09.2011 17:45

Три простых задачи на употребление определения предела [ссылка  pdf 228 кб] - добавлены третья задача, комментарии и функция y = [x] "целая часть числа" (используется в пределах последовательностей x_n = x(n) для вычисления номера N, начиная с которого |x_n-a|<epsilon).
Д.з.: постройте график функции y=[x] (целая часть числа). Что можно сказать о её поведении в точках разрыва?

Например, в числителе дроби при x стремящемся к 0, имеется разность

exp(sin x) - exp(tg x)

Найдём для неё эквивалентную б.м.:
sin x и tg x также стремятся к 0, поэтому

exp(sin x) - exp(tg x) =
= 1+ sin x + (sin x)²/2+(sin x)³/6+O((sin x)⁵) - 1 - tg x - (tg x)²/2 - (tg x)³/6 -O((tg x)⁵) =
= sin x + (sin x)²/2+(sin x)³/6 + O(x⁵) - tg x - (tg x)²/2 - (tg x)³/6 - O(x⁵) =
= (x - x³/6 + (O(x⁵)) + (x - x³/6 + (O(x⁵))²/2 + (x - x³/6 + (O(x⁵))³/6 -
- (x + x³/3 + (O(x⁵)) - (x + x³/3 + (O(x⁵))²/2 - (x + x³/3 + (O(x⁵))³/6 + O(x⁵) =
= (x - x³/6 + (O(x⁵)) + (x² + (O(x⁴))/2 + (x³ + (O(x⁵))/6 -
- (x + x³/3 + (O(x⁵)) - (x² + (O(x⁴))/2 - (x³ + (O(x⁵))/6 + O(x⁵) =

= - x³/2 + O(x⁴)

Таким образом, при x --> 0 разность exp(sin x) - exp(tg x) эквивалентна - x³/2.

Если в числителе ничего больше нет, то мы можем заменить его на - x³/2, это даст ДРУГУЮ дробь, но lim её будет тем же.

Ну а те студенты, которые вообразили, будто эквивалентностью бесконечно малых можно пользоваться так же, как и равенством функций, заменяя sin x на x и tg x на х получат

exp(x) - exp(x) =0

Т.е. они потеряют слагаемое 3 порядка (- x³/2). Приведет это к ошибке в ответе или нет - зависит от того, каков порядок малости знаменателя, а также от того, имеются ли в числителе в сумме с этими функциями другие малые. Однако независимо от этих обстоятельств такая замена - признак безграмотности, ибо эквивалентности б. малых нулю не бывает.

В самом деле: эквивалентность б.м. f и g в одной и той же точке x₀ означает лишь то, что lim f/g = 1 при x --> x₀. А если одна из этих функций постоянная, равна 0, то тогда lim не может быть равен 1. Он равен или 0 или бесконечности. Поэтому б.м. функций, эквивалентных нулю, не бывает.

(дата?)Выложил задачи прошедшей  к.р. по пределам [ссылка].

Решение одной из задач в классе (отыскание зависимости дельта от эпсилон, окончательное доказательство не написано) [фото]

Запись 23.10.2011 15:06
в пятницу на доске разбирали пример из сборника Кудрявцева

lim     ((tg x)²-tg(x²)) / (exp(arcsin x) - exp(sin x) - x³/2)
x --> 0

Мы получили 0. В ответе напечатано 2.
Мы оказались правы. Maple дал разложения:
для числителя 2x⁴/3+O(x⁶)
для знаменателя -x³/6+x⁴/3+O(x⁵)
Ответ 2 получился бы в том случае, если бы знаменатель имел вид
exp(arcsin x) - exp(sin x) - x³/3 (его разложение имеет вид x⁴/3+O(x⁵) )

Запись 13.10.2011 20:30

!!   При вычислении предельного значения с помощью степенных разложений, когда переменная x устремлена нами к 0, обозначения о(x) и О(x)   отличаются примерно как строгое неравенство от нестрогого:
запись o(x) обозначает некую функцию, которая убывает (строго) быстрее, чем x (т.е. дробь o(x)/x --> 0 при x -->0); запись o(x⁵) обозначает малую, порядка более высокого, чем 5 (по отношению к переменной величине x), т.е. o(x⁵)/x⁵ -->0;
а запись O(x) обозначает некую функцию, которая убывает не медленнее, чем x (т.е. при x -->0  дробь O(x)/x остается ограниченной, не может принимать сколь угодно больших значений); при x -->0  запись O(x⁵) обозначает малую, имеющую порядок малости не ниже,  чем 5.
Например: при x --> 0    sin x = x - x³/3! + O(x⁵); sin x = x - x³/3! + o(x⁴);
sin x = x + o(x); sin x ~ x (эквивалентно, волнистая черта); sin x = x + O(x³)
Можно даже специфическую алгебру o и O - символов Ландау записать. Так, для x-->0 верны равенства:
O(x)+O(x) = O(x)-O(x) = O(x)
o(x)+o(x) = o(x)-o(x) = o(x)
5 O(x) = O(x);
O(x/2) = O(x);
25 o(x) = o(x);
O(x) O(x) = O(x²);
o(x) O(x) = o(x²);
o(x) o(x) = o(x²);
o(x) + O(x) = O(x); и т.д.,
Они все очевидны и потому никто нигде не публикует полный набор таких формул. Ради ясности напишите еще несколько формул такого рода.

Но обозначение O(x), в отличие от o(x), можно употреблять и при стремлении x к ненулевым числам и к бесконечности. Чтобы обслужить все случаи (когда x стремится куда угодно) введено такое определение для записи О - большое Ландау:

при x -->a   f(x) = O(g(x)) если для всех x из некоторой окрестности точки a выполняется неравенство |f(x)| =< C |g(x)|   где C - некоторая положительная константа. Принято говорить в таком случае: "f есть величина, ограниченная относительно g" (при стремлении x туда-то).  В частности, запись f(x) = O(1) означает просто, что функция f(x) ограничена (т.е. ее множество значений ограничено в некоторой окрестности предельного значения величины x).

(дата?) При создании явных формул для членов последовательности алгебраические переключатели можно конструировать с помощью функции [x] (целая часть числа). Например, последовательность
x_n=[n/4] имеет значения: 0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,5,5,5,5,...
поэтому переключатель (-1)^[n/4] имеет значения 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,  +1,+1,+1,+1,-1,-1,-1,-1,+1,+1,+1,+1,...

Последовательность с периодом 4 можно создать операцией mod 4 (её пишут после обрабатываемого ею числа):
(n mod 4) при возрастании n имеет значения 1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3, (т.е. период 4, соответственно n mod 7 имеет период 7).

Запись x = y mod 4 читают так: "x сравнимо с y по модулю 4". Она означает, что x отличается от у на целое число, кратное 4.

Поворот точек плоскости на 90 градусов можно реализовать с помощью матрицы поворота
0 -1
1  0
Последовательность поворотов будет рекуррентной, линейной.
А любая линейно рекуррентная последовательность с постоянными коэффициентами, например x_n+2= ax_n+1+bx_n  
может быть записана в явной форме x_n = x(n) , способ (Эйлера) известен давно. При некоторых a,b в явной формуле надо будет возводить в степень   радикалы (корни полинома t² -at -b), - к этому надо быть готовыми и не очень удивляться тому, что формула со степенями корней (радикалов) дает последовательность целых чисел .

Запись 31.10.2011 21:30

    Можно ли получить степенное разложение для ctg x в точке 0?
- Да, можно, но в нем будет присутствовать отрицательная степень переменной x. Как всегда, делим уголочком 1 - x²/2+x⁴/24+O(x⁶) на x - x³/6+O(x⁵) получаем для x, близких к 0 (но не равных ему), ctg x = 1/x - x/3 - x³ /45 + O(x⁵)

При x--> 0 первое слагаемое разложения (1/x)   стремится в бесконечность, следующие слагаемые - малые поправки к нему. Этим разложением можно использовать при вычислении пределов при
x --> 0.
А в ТФКП такое разложение позволяет вычислить криволинейный интеграл от котангенса по контуру на комплексной плоскости, охватывающему точку 0 (и не охватывающему других полюсов этой функции). Для вычисления такого интеграла достаточно знать одно число - коэффициент при слагаемом 1/x. Этот коэффициент называют "вычет" (этой функции в этой точке, т е в полюсе).

Степенные разложения, содержащие отрицательные степени переменной, носят имя не Тэйлора, а Лорана. В принципе они могут быть бесконечными не только вправо, но и влево. У котангенса это не так, наибольшая по величине отрицательная степень в разложении = -1.Это выражают такими словами: точка 0 для котангенса является "полюсом первого порядка". А если бы наибольшая по величине отрицательная степень переменной в разложении была = -2, то "полюс второго порядка". Если бы разложение было бесконечным влево - "существенно особая точка".

    Можно ли разложить арксинус в точке 1? - Можно, но не по натуральным степеням величины (1-x) (это было бы Тэйлоровским разложением, но оно в качестве коэффициентов содержит значения производных в центре разложения, а у арксинуса в точке 1 уже первая производная не существует, там вертикальная касательная), а по степеням корня из (1-x). Получить искомое разложение можно так: производную арксинуса разложить на два сомножителя: (1-x)^-1/2 (1+x)^-1/2 Первый их них уже представляет собой (дробную) степень величины (1-x).
Второй сомножитель переделаем с целью выделения в нём разности (1-x):

(1+x)^-1/2  = (2 - (1-x))^-1/2  = 2^-1/2 (1- (1-x)/2)^-1/2

Теперь разложим его по биному Ньютона (степень m = -1/2) в ряд по степеням величины (-(1-x)/2). Затем почленно умножим этот ряд на (1-x)^-1/2  - из-за этого степени в нём станут полуцелыми. И затем проинтегрируем это разложение производной арксинуса почленно с целью получения самого арксинуса. При этом для отыскания постоянного слагаемого (уничтоженного дифференцированием), учтём, что arcsin(1) = Pi/2. Разумеется, это разложение сходится к арксинусу для x<1 (в левой полуокрестности точки 1).
Возникает естественный вопрос: а что же дает это разложение при x>1? Какое отношение эта функция имеет к арксинусу?

Запись 22.11.2011 15:55

!   Производная модуля и сигнума (signum = знак).
|x| ' =sgn(x) = {1 при x >0, -1 при x<0} в точке 0 не существует.
Сигнум при вычислении производной ведет себя как константа. Например:

|x²-3| ' = sgn (x²-3) 2x = 2 sgn (x²-3) x

|x²-3| ''  =  (2 sgn (x²-3) x) ' =  2 sgn (x²-3) (x)' = 2 sgn (x²-3)

При разложении производных на множители (с целью выяснения их знака) учитывайте следующее:

|a| = a*sgn(a)

a = sgn(a)*|a|

Например:  y =  x² |x²-3|
y' = 2x |x²-3| + x² sgn (x²-3) 2x = 2x sgn (x²-3) ((x²-3) + x² ) = 2x sgn (x²-3) (2x²-3)
точки смены знака 0, плюс-минус корень из 3 и плюс-минус корень из 3/2, причем в точках плюс-минус корень из 3 производная (в отличие от самой функции) не существует, т.е. там на графике излом.

Запись 22.11.2011 15:35

! Маленькое пособие по гиперболическим функциям. Они нам понадобятся в вычислении интегралов. Кроме того, их изучение - хорошее упражнение. Рисунки вставить в pdf не удалось почему-то. Приложил их отельно в архиве zip [ссылка 100 kb zip]

Запись 17.11.2011 13:30
выложил три варианта последней работы (переписка) на вычисление пределов [ссылка 150 kb djvu]. Напоминаю содержание работы: 10 задач на вычисление предела и две на определение предела (одна на формулировки по Коши, по Гейне и их отрицания, вторая на доказательство по определению Коши). Еще раз обращаю внимание: не все задачи на вычисление пределов содержат неопределенности. Будьте внимательны. В частности, не торопитесь, только лишь увидев  задачу вида lim f(x)^g(x)   сразу писать exp(g*(f-1)), - этот прием может быть и невозможен (ну нет в задаче эйлеровской неопределенности "1 в степени бесконечность") и ненужен.

Запись 21.12.2011 19:40

Вот, например, дробно-рациональная функция y = x^3*(x+1)/(5x+4)^3.
Если ее дифференцировать как дробь, то и получим в числителе полином, который еще надо на множители разложить, для этого корни его подбирать.

А если переделать функцию вот так:
y = (x/(5x+4))^3*(x+1) и дифференцировать как произведение двух сомножителей (u³v)' = 3u²u'v+u³v' = u²(3u'v+uv'), то получим два слагаемых, у которых будет общий множитель (x/(5x+4))^2, мы его вынесем за скобки и в скобках останется более простое для разложения на множители выражение.
Попробуйте и убедитесь.

Вообще, ещё раз рекомендую  превращать дробь в произведение (с употреблением отрицательных степеней) и дифференцировать именно как произведение с той целью, чтобы потом выносить за скобки общие множители в наименьших степенях (как правило - отрицательных).

И еще замечание. Если алгебраическая функция имела степень 3, то после дифференцирования ее степень должна быть 2. Это и дробей касается (степень вычисляют как разность степеней числителя и знаменателя). Если у вас получилось иначе - значит, есть ошибка.

Добавлено 14.02.2011 10:30

Расчетка: графики функций, заданных параметрически. Нужно построить график x(t) на плоскости Oxt, график y(t) на плоскости Oyt и кривую {(x(t),y(t))} на плоскости Oxy с полным исследованием последней, с отысканием асмптот (если они есть)  и обоснованием её вида (использовать вектор скорости, вектор ускорения, их векторное произведение и тэйлоровские приближения для исследования интересных участков) [ссылка]

Добавлено 18.05.2011    12:15

Выложил решения задач к.р. по рядам [ стр.  djvu]

Интегрирование функций одного аргумента, несобственные интегралы

 

Запись 07.12.2011 08:50

!   Заметка о технике интегрирования по частям  (рекомендация не заморачивать себе голову обозначениями из учебников и решебников) [ссылка]

Запись 09.12.2011

Разложение правильной (в знаменателе полином  и в числителе полином, но меньшей степени) алгебраической дроби в поле R в сумму простейших дробей.
- Употребляется для интегрирования дробно-рациональных функций (в матанализе) и синтеза линейных систем автоматического регулирования. Примеры того, как его делать, есть в учебнике Ильина - Позняка по математическому анализу. Выкладываю эти примеры здесь [ссылка]

Запись 07.12.2011 12:30

Комментарии об интегрировании

1) Обозначения интеграла (определенного интеграла) произведены Лейбницем от обозначений сумм. В них знак интеграла - просто вытянутая буква S (первая буква слова Summa). А за ней идет формула типичного слагаемого f(x)dx, в котором первая слева буква x играет роль номера слагаемого (это вещественное число, слагаемых как бы континуум, т.е. больше, чем натуральных чисел). Две буквы dx надо воображать себе как имя длины кусочка оси OX (и эта длина может быть и положительной и отрицательной).  Традиционные интерпретации таких слагаемых - либо геометрическая (площадь прямоугольников с основанием dx и высотой f(x)), либо механическая (масса отрезка длиной dx, имеющего линейную плотность  f(x)), - они очень нередко играют важнейшую роль в мыслительном процессе вычисления интегралов, даже тех, которые никакого отношения не имеют к задачам вычисления площади подграфика или массы отрезка [a,b] с плотностью f(x). Вообще-то, dx - как бы предел бесконено малой, т.е. 0, т.е. величина в смысле Лейбница. Но на самом деле f(x)dx считают б.малой, которая эквивалентна площади бесконечно узкого кусочка подграфика функции. Сам же интеграл - это предельное значение неопределенности "бесконечно много бесконечно малых слагаемых".

Позднее обозначения определенного интеграла стали использовать и для неопределенных интегралов, т.е. множества первообразных F(x) +C. Это произошло благодаря теореме Барроу (которую сделали для нас понятной и очень полезной Ньютон и Лейбниц): определенный интеграл = F(b) - F(a).

2) Вычисляя неопределённый интеграл S f(x) dx, мы тем самым по производной  отыскиваем породившую ее функцию F(x): F '(x) = f(x). Поэтому интеграл от нуля - не ноль!  S 0 dx = C

3) Вычисляя неопределенный интеграл S f(x)dx, мы восстанавливаем функцию F (первообразную для f) даже не по её производной, а по её дифференциалу dF = F'dx = fdx    Именно по дифференциалу! И обращаться с подинтегральным выражением f(x)dx надо как с дифференциалом  dF сложной (т.е. составной) функции F.

Дифференциал dy = f(x)dx - то же самое, что уравнение касательной прямой
y-y₀=k(x-x₀) в аналитической геометрии (где k = f = F' в точке касания), но записанное в других обозначениях (точнее - в локальной системе координат, центр которой находится в точке касания). И кроме того, это уравнение не одной касательной прямой, а бесконечного их числа, потому что точка касания x - может быть изменена, её числовое значение в формуле дифференциала не задано.

Заметьте себе отличия обозначений.
- В аналитической геометрии точку касания обозначают (x₀, y₀), а в формуле дифференциала это точка (x, y). И сделано это так именно потому, что дифференциал описывает не одну касательную, а бесконечно много касательных, ПОЛЕ касательных (см. рис. там синим цветом - касательные).
- В формуле y-y₀=F ' (x₀)(x-x₀) есть  4 координаты - (x₀, y₀) и (x, y) в системе XOY, а в формуле dy = F '(x) dx только три: одна координата "x" - в системе XOY, другие две координаты (dx, dy) - в локальной системе координат (с центром в точке касания (x,y). В формуле дифференциала dy = f(x)dx   нет координаты "y" точки касания (есть только "x") и восстановить "y" точки касания по формуле дифференциала  невозможно, она может быть любой. Однако, если мы зададим "y" хотя бы для одной "x" точки касания, - для всех остальных точек касания задавать "y" как попало уже будет нельзя. Выбирая "y" для одной лишь точки касания мы тем самым задаём число C в формуле F(x)+C(выбираем одну из красных кривых на риснуке, они различаются  лишь высотой) .

3) То, что в интеграле написано за буквой d, сколь бы много букв там ни было написано, при необходимости надо уметь видеть как ИМЯ ОДНОЙ переменной, по которой веедется интегрирование.Например: S sin x d cos x - в этой записи подразумевается, что переменная интегрирования имеет имя "cos x". И взять этот интгерал мы сможем тогда, когда выразим sin x через переменную cos x, либо их обеих выразим через третью переменную (в данном случае сначала выгодна переменная x, а потом 2x).

Добавлено 22.03.2011 10:00

Вычисление методом М.В. Остроградского интеграла от дробно-рациональной функции, имеющей кратные полюса. Решение в Maple задачи 1892 из сборника Демидовича для университетов [ссылка]

Добавлено 12.03.2011 15:15

Вычисление интеграла из задачи 3856 (Демидович для ун-тов) [ссылка]

Добавлено 13.02.2011 18:45

1. Вычисление интеграла из задачи о площади параметрически заданной кривой [изображение djvue]

2. Вычисление объема эллипосида алгебраическим методом (вычислять корни характеристического полинома не нужно потому что их произведение можно получить по теореме Виета) [изображение djvue]

Добавлено 19.02.2011 13:45

В классе мы исследовали на сходимость неберущийся интеграл от 1 / ln(x) по промежутку (0,2). Он оказался расходящимся в точке 1. Был поставлен вопрос, сходится ли этот же интеграл в точке 1 в смысле главного значения (valeur principal) по Коши. Оказалось - в ТАКОМ смысле он сходится.  [ссылка]

Функции нескольких переменных

Добавлено 18.05.2011    12:15

Решения задач к.р. по функциям нескольких переменных [ стр.1, стр.2, стр.3   djvu]

Добавлено 27.03.2011   18:45

Техника дифференцирования функций двух аргументов на примере вычисления оператора

x²U'_x'_x - y²U'_y'_y от функции U = f (xy)+sqrt(xy)*g(y/x) [ссылка pdf]

Кратные, поверхностные, криволинейные интегралы

06.12.2011 23:48

Пример вычисления поверхностного интеграла  [ссылка на решение задачи формат djvu] .

Начала ТФКП

Простейшие примеры разных разложений Лорана с центром в одной и той же точке (они отличаются областями сходимости - круг, кольцо, внешность круга). Вычеты, их использование для вычисления интеграла по замкнутому контуру [ссылка1, ссылка2]

Дифференциальные уравнения

Добавлено 17.04.2011    18:40

Расчетное задание по дифференциальным уравнениям [ссылка]

15.09.2011

!    Дифференциальные уравнения: проблема сравнения своего ответа с ответом в задачнике

Вот рисунки (gif) к задачам, разобранным в аудитории
На первом рисунке показано, как произвольная константа C нумерует кривые или их участки в общем решении дифференциального уравнения, записанном в виде y = sin(x)+C|cos(x)| и в виде y = sin(x)+Ccos(x). Видно, что множества точек плоскости в обоих случаях совпадают. Но в первом случае нумерации константа С дает изломанные кривые, а во втором - гладкие.  С точки зрения одной нумерации - другая нумерует линии кусочно. Обе равно законны.
На втором рисунке   можно убедиться, что особое решение y=x⁴/4 и в самом деле является огибающей для семейства парабол y = Cx² - C² , но не всех, а тех, у которых C>0. Это важное для нас наблюдение. По определению особое решение уравнения y' = f(x,y)   во всех его (решения) точках    касается других решений того же дифференциального уравнения y' = f(x,y) , - в данном случае - парабол из общего решения. Указанное определение не требует, чтобы особое решение касалось всех остальных частных  решений, получаемых из общего. Оно требует лишь нарушения однозначности решения задачи Коши при использовании точек особого решения в качестве начальных условий.
     Так оно и получается в этом примере. Например, мы можем идти вверх по одной из парабол семейства до касания с огибающей и в точке касания перейти на огибающую - вот одно решение. А можем идти вверх по огибающей и в той же точке перейти на параболу из заданного семейства - вот другое решение. А можем идти только по параболе через ту точку. А можем - только по огибающей (через ту же точку).  В итоге, для каждой точки линии y=x⁴/4  мы можем предъявить четыре решения задачи Коши, для которой эта точка - начальная. Вот наглядная картина понятия "особое решение".

Уравнение Дарбу и уравнение Риккати есть в пособии Н.М. Матвеева (ссылка внизу) на стр. 85,86  и далее. Уравнения Лагранжа и Клеро - на стр. 136 и 138.

Алгебра, линейная алгебра, аналитическая геометрия

Запись 01.12.2011 11:25

!  Комментарий к понятию "определитель матрицы".

Слова "определитель матрицы A" det(A) (determinant) употребляются в двух смыслах: "определитель" как число и "определитель" как формула вычисления этого числа. Мы будем обсуждать второй смысл этих слов - определитель как формула. Есть минимум три способа дать ей (ему) определение:

Т.е. этот способ объяснить, что такое det(A), основан на формуле, выражающей det(A) через элементы матрицы A. Эта формула методами элементарной алгебры позволяет выявить и доказать все свойства det(A) (при условии, что студент одолеет теорию перестановок), - но для практических вычислений она не пригодна из-за слишком большого количества слагаемых в ней (n! слагаемых по n сомножителей в каждом, кто-то из ленинградских алгебраистов, - кажется, А.И. Скопин, - подсчитал, что по этой формуле определитель матрицы 100 порядка компьютер массой с Землю, все ячейки которого будут размером всего лишь с молекулу, будет считать примерно столько времени, сколько по "теории относительности" существует Вселенная). Т.е. эта формула имеет только теоретическое значение.

Для практического вычисления определителей использовали так называемые "элементарные преобразования матрицы" (прибавление к строке матрицы A копии другой строки, умноженной на выбранное вычислителем число; перестановку строк местами с одновременным добавлением минуса к det(A), умножение строки на число с одновременным делением det(A) на это число) с целью получения большого количества нулей одной из строк с последующим "разложением определителя" по этой строке. Это уменьшало порядок матрицы на единицу. Формула раложения требует знакомства с понятиями "минор" и "алгебраическое дополнение (адьюнкт) элемента матрицы".

2) Такая ситуация в 1960х годах подвигла некоторых преподавателей (в частности, Ильина и Позняка из МФТУ) построить теорию определителей иначе. Сначала объяснить студентам, как вычислять определители матриц 2 и 3 порядка. Для определителей матриц большего порядка в качестве определения взять формулу разложения по строке (столбцу) . Она позволит студентам понять, как определитель матрицы 4 порядка выражается через (миноры) определители подматриц 3 порядка, затем определитель матрицы 5 порядка - через определители подматриц (миноры) 4 порядка. И так далее. Т.е. идея была в изложении теории det(A) индукцией по порядку матрицы A (хотя общая формула, выражающая det(A) через миноры, возвратна). Эти преподаватели, видимо, рассуждали так: "Формула разложения по строке это то, чему мы реально можем научить среднего студента благодаря упражнениям в вычислении определителей. Напротив того, почти нет практических вычислений, помогающих студентам усвоить стандартное определение det(A). Студенты вынуждены усваивать его умозрительно. При этом теория перестановок слабым студентам не поддается, а заниматься ею на практике - нет времени.. К тому же она им и не нужна в их будущей (эксплуатационной) инженерной деятельности даже как классический пример на теорию групп. А в нашем курсе формула разложения определителя в сумму произведений нужна лишь в одном месте - для доказательства того, что det(A) = det(A^T). Но если студенты не будут знать одного лишь этого доказательства, но зато, в отличие от студентов других ВТУЗов, будут уметь доказывать остальные свойства определителя (исходя из такого нового определения), - мы будем хорошо выглядеть в глазах начальства и у студентов будет чувство удовлетворенности".

3) Сильный удар по обоим способам нанесла компьютеризация. Ручной счет почти исчез. Определитель, как средство решения систем линейных уравнений и раньше-то мало кому был нужен (сравнения с методом Гаусса - Йордана он не выдерживает), а теперь в этой роли и вообще стал не нужен. У него осталась одна, на самом деле наиглавнейшая его роль: n-мерный объем n-мерного (ориентированного) параллелепипеда. Это и есть третий способ дать определение det(A) - числовая функция, у которой аргументами являются n штук n-мерных векторов-столбцов (или строк), линейно зависит от каждого из этих векторных аргументов, которая невырождена (равна нулю на линейно зависимых n векторах (т.е. показывает нулевой объем параллелепипедам размерности меньшей, чем n), и которая нормирована на единицу (равна 1 на базисных ортонормированных векторах, т.е. на объеме единичного куба). Такой вид изложения я впервые увидел в учебнике -монографии Халмоша "Конечномерные векторные пространства" 1962 года.

Если студент желает минимизировать свои труды, он должен выбрать тот из этих трех способов, который использовал лектор. Это гарантирует минимум разговоров на экзамене. Если, например, лектор использовал 1 подход, а студент учился по 2 подходу (по Ильину и Позняку),- у экзаменатора возникнет необходимость посмотреть, а составляют ли знания студента единое целое и разговор затянется. В мои студенческие времена студенту, самостоятельно освоившему все доказательства по другому источнику повышали оценку. Но то были иные времена, иные нравы.

Первому подходу соответствует учебник Д.К. Фаддеева (но он слишком общий, Д.К. Фаддеев писал его исходя из наиболее общих понятий о числах), большинство старинных учебников и сверхкраткий учебник академика Л.С. Понтрягина по алгебре (гиперссылка здесь в списке литературы, в нём оказались переставлены и даже перевернуты некоторые страницы, - я это исправил, рекомендую скачать заново). Академик Л.С. Понтрягин был выдающимся человеком. В юности он потерял зрение (тяжелая болезнь с осложнением) и СЛЕПОЙ дорос до академика с мировым именем. Занимался он системами обыкновенных дифференциальных уравнений, теорией управления, имевшей тогда стратегическое значение для СССР: эта теория применялась для создания новых зенитных ракет, систем ПВО и ПРО, для создания обитаемых орбитальных комплексов. Принцип максимума Понтрягина вошел во все мировые учебники по теории управления. Очень поучительна грязная травля, которой выдающегося ученого подвергли некоторые академические активисты (скажем так) за выступление против национального перекоса в Академии наук СССР и университетах России. Жизнеописание акад. Л.С. Понтрягина и комментарии к нему академика Шафаревича и писателя Кожинова см. здесь.

Свое пособие по алгебре (ссылку см. внизу), отличающееся уникальной краткостью и простотой изложения, Л.С. Понтрягин написал в пику тем самым кругам, которые захватили издательскую деятельность и плодили тяжеловесные, толстенные пособия, в которых простую суть вопросов хоронили под массой ученых слов.

Запись 06.10.2011 21:30
В одной из групп наблюдал явление: первокурсники знают формулу корней квадратного трехчлена, но не знают, как она выводится. Этот дефект знаний  каждому студенту обязательно надо исправить. Мое поколение в школе приучили понимать, что используемая для этого процедура выделения полного квадрата (см. "сверхкраткий справочник") важнее полученной формулы, т.к. она дает возможность еще и график функции y=ax²+bx+c получать пеобразованием графика y=x². Прошу всех проверить себя на знание этой процедуры (уметь проводить ее с кв. тречленом не только с буквенными, но и с численными коэффициентами). Скоро мы начнем ее применять к квадратичным формам - полиномам второй степени от нескольких переменных, однородным по степени 2. Это важное умение для задачи отыскания экстремумов функции нескольких аргументов. Для этого мы будем разлагать функцию от нескольких переменных по формуле Тейлора (в точке, в которой первые производные =0) и исследовать ее квадратичную часть (второй дифференциал).

Запись 06.10.2011 15:00
Публикую  задачи последней к.р.[ссылка]

Запись 03.10.2011 20:50
!! [фото] решения задачи к.р.: отыскание корней многочлена 4 степени с вещественными коэффициентами по одному из его комплексных корней

Запись 01.10.2011 14:55
Кроме задания формулы x_n = x(n) общего члена последовательности часто встречается рекуррентное задание последовательности чисел (возвратное, от французского recourir - возвращатья), в котором n-й член выражается не только через номер n, но и через предыдущие члены последовательности.
Например:  x_n =  x_n-1+ x_n-2 (Фибоначчи)
Возник естественный вопрос: всякую ли возвратную последовательность можно записать явной формулой x_n = x(n) ? (Прошу обратить внимание: это  алгоритмическая проблема, можно сказать, программистская).
   Оказалось - не всякую. Вот такой интересный факт. Осознан лишь к середине XX века.

Запись 01.10.2011 13:30
Публикую фото доски [ссылка djvu] с решением 1 и 2 задач 5 варианта.

Запись 26.09.2011 22:10
"С риском что-то забыть перечисляю по памяти...", - так и знал, что что-нибудь забуду.

7. Формулы Виета для многочлена 2-й и более высоких степеней.

!!!  Способы разложить многочлен от одной переменной x по степеням (x-x₀):
a) сделать замену x = ( t + x₀); раскрыть все скобки, сгруппировать слагаемые по степеням t, сделать обратную замену t = x - x₀
b) использовать формулу Мак Лорена для коэффициентов многочлена
P_n(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + ...a_n xⁿ
a_k = P^(k) (0)/ k!  (в скобках наверху - порядок производной)
А для многочлена, разложенного по степеням (x-x₀):
a_k = P^(k) (x₀)/ k!

!!!     Важнейшие способы задать вещественный многочлен от одной переменной x:
a) задать коэффициенты разложения по степеням x (или x-x₀) - это дает возможность сразу написать многочлен
b) задать все корни с их кратностями и старший коэффициент - это дает возможность написать многочлен в виде разложения в произведение простейших (неприводимых) множителей; потом их можно перемножить, раскрыв скобки.
с) задать значение в точке 0 самого многочлена и всех его производных (всего n+1 число) и воспользоваться формулой Мак Лорена. То же самое верно для любой другой точки x₀: ф-ла Мак Лорена даст разложение многочлена по степеням (x-x₀)
d) задать n+1 точку (x₀, y₀) ,  (x₁, y₁) , (x₂, y₂) , (x₃, y₃) , ...(x_n, y_n)  через которую должен пройти график многочлена (при этом все иксы - разные).

!!!   Важнейшие способы построить вещественный многочлен от одной переменной x степени n, чей график проходит через n+1 точку:
a) график функции P(x) проходит через точку (u,v )- значит, координаты точки удовлетворяют уравнению v = P(u) отсюда идея: подставить в многочлен a₀ + a₁ x + a₂ x² + ...a_n xⁿ    координаты этих точек (по одной) - получим систему из n+1 линейного уравнения с n+1 неизвестной a₀ , a₁ , a₂ , ...a_n   Её определитель - определитель Вен Дер Монда, он равен произведению множителей вида  (x_k - x_j) и потому не равен нулю. А теорема Крамера в таком случае гарантирует наличие решения и притом единственного. Этот способ на практике почти не применяется, только в теоремах и анализе методов вычислений (точнее - численного решения задач).
b) интерполяционный многочлен Лагранжа (и Ньютона, - не обязательно, но желательно). Идея Лагранжа: искомый многочлен есть сумма многочленов вроде такого:  (x - x₁)(x - x₂)...(x - x_n) - он равен нулю во всех заданных точках, кроме точки x₀   (нет множителя x-x₀) . В этой точке он равен ненулевому числу (x₀ - x₁)(x₀ - x₂)...(x₀ - x_n). Если его разделить на это число, он будет равен 1 в точке x₀ и нулю в остальных точках. Осталось составить такие многочлены для всех точек и сложить их, умножив каждый на желаемое значение y_k .  

А по алгебре (в той группе, где я веду алгебру) мы познакомились с чётностью и нечетностью перестановок (её вычислением на основе инверсий и транспозиций), определителями квадратных матриц, матрицами, действиями с матрицами, с соответствием умножения матриц суперпозиции линейных отображений (операторов), с геометрическим и алгебраическим определением линейности отображения (оператора), со способом построить матрицу линейного оператора (отображения), со способом найти матрицу обратного оператора (обратную матрицу), с методом Гаусса - Йордана (Жордана) решения систем линейных уравнений, со структурой общего решения системы линейных уравнений и теоремой Крамера. Познакомились с ориентацией базисных систем векторов (на основе знака определителя), в 3-мерном пространстве с правой и левой тройками векторов и с векторным произведением. Познакомились с геометрическим смыслом определителя - ориентированный объём параллелепипеда и коэффициент отношения объема образа тела к его объему при линейном отображении. Последнее придает геометрический смысл свойству определителей det (AB) = det(A) det(B).

Запись 25.09.2011 12:35
С риском что-то забыть перечисляю по памяти тот материал, который мы прошли за сентябрь 2011 года.

1. Элементарная математика - список сведений см. в "сверхкратком справочнике" (ссылка внизу) плюс основные комбинаторные числа (число перестановок, размещений и сочетаний)  бином Ньютона и его обобщение на случай нескольких слагаемых.
2. Новые функции: y = sgn(x) ("знак числа", тождества x = |x|sgn(x) и |x|=xsgn(x)); y = [x] ("целая часть числа", неравенство [x]=<x<[x]+1)
3. Комплексные числа: в алгебраической форме (вещественная и мнимая часть к.ч., арифметические действия, сопряженное к.ч., факт отсутствия отношения неравенства к.ч., извлечение корня квадратного из к.ч. в алгебраической форме, решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом и с комл.коэфф-тами); к.ч. как упорядоченная пара чисел, к.ч. как точка плоскости, к.ч. как радиус-вектор, к.ч. в тригонометрической форме (модуль и аргумент, арфметические действия, возведение в степень - формула Муавра, извлечение корня в тригонометрической форме); формула Эйлера и выражение sin x и cos x через неё; основная теорема алгебры комплексных числе (Гаусс, 1799 г.); теорема Безу; следствие из этих двух теорем о разложимости многочлена в произведение многочленов 1 степени; теорема о парности комплексных корней многочлена с вещественными коэффициентами и следствие из неё о разложении многочлена с вещ. коэфф-тами в произведение многочленов степени не выше 2 (+применение этой теоремы для отыскания недостающих корней многочлена); комплексная функция комплексного аргумента w = f(z) как отображение из плоскости z в плоскость w (только первоначальное понятие, понимание возможности переписать её в виде двух формул u=u(x,y) v = v(x,y) ).
4. Множества, алгебра действий с ними (в т.ч. вычитание множеств), алгебра логических операций над описывающими их высказываниями, алгебра Буля, различные обозначения и свойства операций, их взаимодействие между собой, в частности - знание наличия двух распределетельных законов и правил Де Моргана, соответствие между всеми тремя алгебрами; импликация и её связь с отношением включения множеств; прямая сумма (исключающее ИЛИ, XOR) и польза замены Булевского OR на XOR. Количество всевозможных булевых функций от двух аргументов, возможность выразить их через стандартные (базисные) Булевы AND,OR,NOT (СДНФ и СКНФ - по желанию). Уметь переводить комбинации действий над множествами и высказываниями в Булевы выражения и обратно.
5. Основные правила употребления кванторов, их аналогия с операциями AND и OR. Умение написать определение предела функции (последовательности) для различных предельных значений и направлений стремления к предельным начениям (для x - слева/справа, для y сверху/снизу). Умение воспользоваться определением предела функции (последовательности) для доказательства (хотя бы для простейших алгебраических функций - линейных, квадратичных, дробно-линейных, модуля)
6. Знакомство с понятиями: ограниченность функции (точнее - множества её значений), верхние и нижние грани; супремум и инфимум функции (точнее - множества её значений); расстояние между множествами точек, диаметр множества точек; окрестность точки (хотя бы круглая, тогда у неё есть радиус); локальные и глобальные максимум и минимум функции; точка сгущения последовательности чисел; верхний и нижний пределы последовательности чисел (наибольшая и наименьшая из точек сгущения); частичный предел функции, верхний и нижний пределы функции (см. Антидемидович, например).

Запись 22.09.2011 17:05
Свертывание сумм косинусов и синусов [3 фото с доски rar 3Mb] - дополнение к предыдущему сообщению

Запись 20.09.2011 22:55

!!    Комплексные числа в элементарной тригонометрии [ссылка]

Запись 20.09.2011 22:03
задачи второго теста и их решения (для первой только ответ) [ссылка]

2010/2011 учебный год

Алгебра, 1 курс

Добавлено 29.06.2011 15:10

Комментарии к экзаменационным вопросам по линейным пространствам и операторам (поток ЦНИИРТК, но для ФУИТ тоже полезно) [ссылка 2]

Добавлено 21.06.2011 18:45

Комментарии к экзаменационным вопросам по квадратичным формам (поток ЦНИИРТК, но для ФУИТ тоже полезно).[ссылка] .

Добавлено 21.03.2011 10:30

Выложил расчетку по алгебре [ссылка]

Выложил расчетное задание по полиномам и рядам Тейлора - Маклорена [ссылка] Всего 12 вариантов (номер = номер в алфавитном списке студентов) по 8 задач в каждом варианте.

Добавлено 05.01.2011 в 21:25

Дописал комментарии к задачам, которые решали в группе лектора [ссылка]

Добавлено 31.12.2010 в 23:00

Для группы ЦНИИРТК - образец задач по алгебре, которые в своей группе давала лектор, - прорешать перед экзаменом. [ссылка] Студентам ФУИТ тоже советую посмотреть.

Добавлено 31.12.2010 в 20:25

Решение геометрических задач из вариантов 28.12.2010 [ссылка]

!!! 1). До сих пор встречаются студенты, не понимающие, что умножение матриц некоммутативно. Ещё раз:

• Как не одинаковы функции y = sin(ln x) и y = ln(sin x), так же не одинаковы и отображения
  Y =ABX и Y=BAX (здесь A,B - матрицы, X,Y - векторы-столбцы).
• В сумме общие множители из слагаемых выносим вправо или влево в зависимости от того, были ли они правыми или левыми в слагаемых. AB+AC = A(B+C);   BA+CA = (B+C)A
  Если множитель был левым в одном слагаемом и правым в другом, - вынести его за скобку, вообще говоря, нельзя без проверки перестановочности сомножителей хотя бы в одном слагаемом. Но эту проверку можно сделать только тогда, когда будут известны числа в матрицах
• Обе части равенства можно умножить на невырожденную матрицу, но при этом обе - с одной стороны. A = B и det C не нулевой, тогда CA=CB и  AC = BC.

5) Как ни странно, многие затрудняются решить методом Гаусса систему линейных уравнений. Это непростительно. В основе лежат школьные сведения: к одному уравнению можно прибавить копию другого уравнения, умноженную на любое число, в результате получим систему уравнений, эквивалентную исходной. Этот приём мы используем для получения подсистемы уравнений с меньшим числом неизвестных. В этом суть метода Гаусса. И надо уметь записать множество решений в виде линейной комбинации столбцов, это дает геометрическую интерпретацию полученного множества решений (на языке множества точек и на языке множества векторов).

Добавлено 24.12.2010   19:30

Объяснение решения вариантов от 23.12.2010 + комментарии [ссылка]...

Добавлено 19.12.2010   17:55

Примеры того, как делать разложение правильной дроби в сумму простейших, есть в учебнике Ильина - Позняка по математическому анализу. Выкладываю эти примеры здесь [ссылка]

Добавлено 19.12.2010   16:35

[ Результаты работ по алгебре 18.12.2010 ] Условия задач с ответами: ссылка pdf

Список необходимых практических сведений по аналитической геометрии.
За основу беру: Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.
Работающую ссылку для скачивания нашел яндексом
http://www.studfiles.ru/dir/cat14/subj1123/file8334.html

ИТАК (указываю по задачнику Клетеника):

По теме "векторы в геометрии" требуется знать:

§ 29. Понятие вектора Проекции вектора (116),

[ Замечание: понятие вектора берём не из геометрии, а из темы "векторное (линейное) пространство" линейной алгебры. Геометрическим многословием про направленные отрезки советую не заморачиваться. Как складывают векторы и при этом складывают их координаты - знают все успевающие в математике школьники. Для тех кто не знает, зачем нужно определение векторного пространства, даю объяснение
прямая ссылка на страницу кафедры В.М, раздел "студентам"

Новая ссылка:
http://www.spbstu.ru/departments/base/phmf/math/persons/Sushkov_V_I/vector.html

Старая ссылка:
http://www.spbstu.ru/phmech/math/persons/Sushkov_V_I/vector.html   ]

§ 31. Скалярное произведение векторов (124).

[Замечание: кроме формул для вычисления скалярного произведения важно знать две формулы для ортогональной проекции вектора на вектор: в смысле "проекция - число" и в смысле "проекция - вектор"].

§ 33. Смешанное произведение трех векторов (131)

[ Замечание: оно ничем не отличается от определителя матрицы 3 на 3. Требуется лишь понять, что этот определитель можно представить в виде скалярного произведения вектора a - первая строка матрицы, на векторное произведение b x c и получается число, по величине равное объему параллелепипеда, построенного на ребрах a, b, c ).
Двойное векторное произведение требуется для курса механики и физики (тема вращательное движение). Надо знать о его существовании и быстром способе вычисления по формуле "бац минус цап".]

Из темы "геометрия прямых на плоскости":

[ Замечание. Аналогичные вопросы в пространстве: "пучок и связка плоскостей" (мне кажется, Клетеник не включил их в задачник, потому кратко излагаю суть). 

Например, пучок плоскостей. .
Берем две пересекающиеся плоскости (линию их пересечения я обозначу L)

a1*x+b1*y+c1*z=d1
a2*x+b2*y+c2*z=d2

Утверждение первое: если создать линейную комбинацию этих уравнений, - т.е. умножить их на (два) числа и почленно сложить, - получится уравнение плоскости, проходящей через ту же прямую L, что и эти две плоскости. Выбранные нами числа определяют её наклон. Доказательство тривиально: всякая точка, чьи координаты удовлетворяют этим двум уравнениям, будет удовлетворять и их линейной комбинации. Ну а то, что получится именно плоскость, а не что-то другое, следует из вида полученного уравнения, - он такой же как у слагаемых.

Утверждение второе: если плоскости не параллельны, то таким способом можно получить ВСЕ плоскости, проходящие через L Для доказательства решаем задачу (в общем виде): указать такие два числа, чтобы линейная комбинация этих уравнений проходила через наперед заданную точку (x0, y0,z0) (разумеется, не лежащую на L), т.е подобрать два числа так, чтобы координаты этой точки удовлетворяли получаемому с их помощью уравнению. Разумеется, пара таких чисел не единственна, а определена с точностью до их общего числового множителя.

Примечание 1: коэффициенты (a1,b1,c1) - координаты "вектора нормали", т.е. вектора, задающего наклон плоскости, она перпендикулярна к нему. (a2,b2,c2) - аналогично. При сложении уравнений плоскостей эти векторы складываются (нарисуйте вид плоскостей в торец, векторы нормалей, их сумму и положение получающейся плоскости). Поэтому, чтобы получить, например, биссектральную плоскость, надо сначала уравнения двух плоскостей разделить на длину нормального вектора, а потом складывать (Операция деления вектора на его длину с целью придать ему единичную длину, называется нормированием; она породила противоестественное использование слова "нормаль" вместо "перпендикуляра"). В результате сложения двух векторов единичной длины мы получим вектор, направленный вдоль диагонали ромба - т.е. биссектрису. Поскольку полученная плоскость перпендикулярна ей, она делит двугранный угол между плоскостями пополам (нарисуйте вид в торец и вспомните, что углы со взаимно перпендикулярными сторонами, равны).

[А если единичные нормальные векторы двух плоскостей вычесть, - получится нормальный вектор второй биссектральной плоскости. Т.е. после нормировки два уравнения непараллельных плоскостей надо сложить и вычесть - получатся уравнения двух биссектральных плоскостей - добавлено 16.12.2010  21:56]

Примечание 2: в алгебре функции такого вида, которые стоят в левых частях уравнений плоскости, называют "линейными формами". "Форма" в алгебре - это просто полином от нескольких переменных, однородный по степени. Линейная форма - первая степень всех её слагаемых. При сложении линейных форм складываются векторы их коэффициентов (в данном вопросе - векторы нормалей плоскостей). Потому множество линейных форм устроено так же, как множество векторов (т.е. образуют векторное пространство). "Квадратичная форма" - полином от нескольких переменных, однородный по степени два.[Коэффициенты квадратичной формы составляют уже матрицу. Это материал следующего семестра. - добавлено 16.12.2010  21:56]

Примечание 3. Вопрос о связке плоскостей аналогичен. Там за основу берут три плоскости, пересекающиеся в одной точке.[ Но понятия биссектрисы для трехгранного угла, вообще говоря, нет добавлено 16.12.2010  21:56]

Из темы "геометрия прямых и плоскостей в трехмерном пространстве":

§ 44. Сфера (165).

§ 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике (170),

Добавлено 19.11.2010   15:30

Общая алгебра, алгебра комплексных чисел, линейная алгебра, аналитическая геометрия
(1 курс ФУИТ, ЦНИИРТК)

Список основных понятий и сведений, которыми надо владеть [ссылка] в формате pdf
Минимальнейший список стандартных задач [ссылка 22.11.2010]

Теория вероятностей

Добавлено 25.01.2011 17:00

По просьбе студента выкладываю решение первых двух задач из 23 варианта [ссылка], вариант этот из оборота изымаю.

Добавлено 15.12.2010   10:30

По просьбе студента отсканировал и выкладываю страницы задачника Гурского по темам "многомерные случайные величины" (т.е. случайные векторы, системы случайных величин), "многомерное нормальное распределение", "функции от случайных величин". [ссылка]

Иллюстрации к понятиям "случайная величина", "функция от случайной величины" [ссылка] в формате djvue (папка заархивирована rar)

Ссылки на решебники
и др. литературу

Элементарная математика

Запись 15.09.2011 18:45
Бином Ньютона, начала комбинаторики, суммы. Справочные материалы из задачника Кудрявцева - Шабунина 1984 года [ссылка]

Сверхкраткий справочник по элементарной математике (4 странички)  [ссылка]

Сборник задач М.И. Сканави для поступающих в ВУЗы [ссылка]. Это задачник советской системы приема в ВУЗы, когда никаких тестов и ЕГЭ не было, были вступительные экзамены. Первая часть - алгебра. Вторая часть - геометрия  ссылка работала 08.09.2011 11:30

Универсальный задачник (широк, но местами мелок)

    Ефимов А.В., Демидович Б.П. (ред.) Сборник задач по математике для ВТУЗов в четырех частях. Часть 1. 1993.djvu - 4575012 байт
    По сути тот же задачник:
    Ефимов А.В., Поспелов А.С. (ред.) Сборник задач по математике для втузов. Часть 1. 2001.djvu - 2673516 байт
     Ефимов А.В., Поспелов А.С. (ред.) Сборник задач по математике для втузов. Часть 2. 2001.djvu - 8089700 байт
     Ефимов А.В., Поспелов А.С. (ред.) Сборник задач по математике для втузов. Часть 3. 2002.djvu - 5195650 байт
     Ефимов А.В., Поспелов А.С. (ред.) Сборник задач по математике для втузов. Часть 4. 2003.djvu - 3964431 байт

Аналитическая геометрия

Запись 06.10.2012   15:30

Сборник задач Клетеника

Запись 10.12.2010   15:00
Задачник:: Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.
http://www.studfiles.ru/dir/cat14/subj1123/file8334.html

Основы алгебры

Пособие акад. Л.С. Понтрягина по алгебре (формат djvu, архив rar, 2.5 Mb). [ссылка]
Отличительная особенность этих лекций академика (ныне покойного, был слепым почти всю жизнь) - краткость и отсутствие заумных слов. В этой книжке есть только основы линейной алгебы и алгебры комплексных чисел.

Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой: Алгебpa. — M.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 136 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................................................................... 4
Глава 1. Теория определителей ............................................................ 5
§ 1. Векторные пространства .............................................................. 5
§ 2. Линейные отображения векторных пространств и матрицы ............... 12
§ 3. Определители .............................................................................. 21
§ 4. Решение системы линейных уравнений . . ..... ...........................................33
§ 5. Элементарные преобразования матриц...........................................42
§ 6. Ранг матрицы ...............................................................................52
§ 7. Евклидовы векторные пространства................................................57
Глава 2. Корни многочленов .................................................................. 65
§ 8. Комплексные числа .....................................................................66
§ 9. Основная теорема алгебры ........................................................... 73
§ 10. Алгоритм Евклида....................................................................... 81
§ 11. Наибольший общий делитель двух многочленов . ........................ 85
Глава 3. Приведение матриц к каноническому виду . ... ................................94
§ 12. Связь между линейными отображениями и матрицами .....................96
§ 13. Многочлены от матриц и отображений..................................................101
§ 14. Жорданова форма матрицы.......................................................................111
§ 15. Квадратичные формы .. ..............................................................................116
§ 16. Экспонента квадратной матрицы..............................................................123
Глава 4. Примеры....................................................................................................127

Запись 19.12.2010   17:55
Разложение правильной алгебраической дроби (в знаменателе полином  и в числителе полином, но меньшей степени) в поле R в сумму простейших дробей. Употребляется для интегрирования дробно-рациональных функций (в матанализе) и синтеза линейных систем автоматического регулирования. Примеры того, как его делать, есть в учебнике Ильина - Позняка по математическому анализу. Выкладываю эти примеры здесь [ссылка]

Добавлено 09.03.2011 в 16:30 (перенесено сюда 25.02.2012)

ЧЕТЫРЕ МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА К НОВОМУ БАЗИСУ [ ссылка ]
Строим Жорданову башню: снизу вверх и сверху вниз [ ссылка ]
Выполнение на компьютере расчетного задания по Жордановой нормальной форме [ ссылка ]
Приложения Жордановой нормальной формы матрицы [ ссылка ]

Общая алгебра

Запись 15.09.2011 18:45
Комплексные числа и многочлены. Справочные материалы из задачника Кудрявцева - Шабунина 1984 года [ссылка]

Запись 24.06.2011 08:55
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. 1984.djvu   5891KB  [ссылка]

Запись 01.12.2010   10:00
Основные сведения по общей алгебре можно видеть в книге  "Теоретическая криптография" А. Ростовцев, Е. Маховенко [ссылка]. Книга написана профессионалами кодирования, которые, естественно, отобрали из общей алгебры то, что им нужно.

Линейная алгебра

Запись 17.11.2011 18:00 Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 2005.djvu 3 Mb [ссылка]

Запись 24.06.2011 08:55
     Математика в техническом университете. Вып. 04. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра. 2000.djvu 2790KB - конспективное изложение определений, формулировок теорем, основных результатов, связей между понятиями [ссылка]
    Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. 2002.djvu 1597KB [ссылка]
    Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. 2004.djvu 2041KB [ссылка] - здесь можно посмотреть основные сведения о кривых и поверхностях 2 порядка
     Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. 1980.djvu  4804KB - здесь в основу всего положен метод Гаусса, диагонализируемые матрицы (операторы простой структуры) есть, а Жордановой формы (т.е. общего случая) нет [ссылка]

Запись 29.06.2011 15:10
Комментарии к линейным пространствам и операторам [ссылка pdf]

Добавлено 13.03.2011 15:30

Оглавление учебника Алгебры Иьина и Кима [ссылка].
Ильин, Ким Линейная алгебра [ссылка] (формат pdf)

Добавлено 09.03.2011 в 16:30

ЧЕТЫРЕ МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА К НОВОМУ БАЗИСУ [ ссылка ]
Строим Жорданову башню: снизу вверх и сверху вниз [ ссылка ]
Выполнение на компьютере расчетного задания по Жордановой нормальной форме [ ссылка ]
Приложения Жордановой нормальной формы матрицы [ ссылка ]

Математический анализ

Запись (старая) перенесена сюда 25.02.2012 14:40

В большинстве отечественных учебников плохо объяснено, что такое дифференциалы. Плохо начинается тогда, когда разговор заходит о старших диффеернциалах. И уж совсем плохо (за гранью осмысленного текста) в наших учебниках написано про так называемые "инвариантность первого дифференциала и неинвариантность старших дифференциалов".
Рекомендую посмотреть указанные ниже записки об этом. Написаны они по-разному, выбирайте ту, которая понятнее. На мой взгляд наилучшая из них - последняя.
Инвариантность первого дифференциала - нелепость в курсе математического анализа
[новая ссылка] [старая ссылка] (журнал "Математика в ВУЗе")
Инвариантность первого дифференциала - нелепость в курсе математического анализа
[ссылка]   (сайт За- Науку!)
Дифференциал и формула Тейлора - без нелепостей и жаргона
[новая ссылка] [старая ссылка] (журнал "Математика в ВУЗе")

Запись 08.12.2011
Мышкис А.Д. Математика для ВТУЗов. Специальные курсы. 1971.djvu [ссылка] Очень хорошая книжка, в которой простыми словами описана суть векторного анализа, ТФКП, операционного исчисления.

Запись 22.11.2011 15:35
Маленькое пособие по гиперболическим функциям. Они полезны для  вычислении интегралов, содержащих корень из квадратного трехчлена. Кроме того, их изучение - хорошее упражнение. Рисунки приложены отдельно,  в том же архиве  [ссылка 100 kb zip]

Запись 17.09.2011 19:40
11 лет назад на страничке кафедры в.м. выложил эпсилон-дельта определение непрерывности отображения [ссылка] в заданной точке (Предисловие наклонным шрифтом можно не читать, оно для преподавателей). В нём сейчас gif - мультфильм почему-то не движется, но первого кадра из него нам хватит. Вот контрольный  вопрос студентам (на понимание): в чём отличие этого определения от определения предела (предельного значения) отображения в заданной точке?

Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу 1997 г. 6 мб ссылка 14.09.2011

Задачник:
     Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. 2003.djvu - 3557507 байт
     Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том 2. 2003.djvu - 3302461 байт
     Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том 3. 2003.djvu - 3282912 байт
- ссылки работали 08.09.2011 10:26

Запись 16.12.2010   20:20
Для всех, кто затрудняется в вычислении пределов с помощью Тэйлоровских разложений, -  я отсканировал и выкладываю страницы из задачника Кудрявцева с десятком разобранных примеров на эту тему [ссылка]. Напоминаю, что нужно выучить пять основных разложений в точке 0 и уметь их приспособить для других точек - центров разложения (см., в частности здесь [ссылка])

Запись 10.12.2010  22:00
     Учебник: Фихтенгольц Г.М. том 1, 2, 3
http://www.newlibrary.ru/genre/nauka/matematika/matematicheskii_analiz/s_n/page4/

Запись 08.12.2010   8:45
Образец решения задачи на построение графика y = f(x) по заданным свойствам f(x) [ссылка]

Запись 29.09.2010 10:30
     Решебник, "Антидемидович": Ляшко И.И, Боярчук А.К, Гай Я.Г , Головач Г.П.     Формат документа: djvu Математический анализ т 1,2,3
http://www.newlibrary.ru/genre/nauka/matematika/matematicheskii_analiz/page4/
    Решебник: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и задачах. ( В 2-х частях )
Учебное пособие для студентов втузов.
http://www.alleng.ru/d/math/math148.htm
    Решебник: Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. (Функции одной переменной)
http://www.alleng.ru/d/math/math492.htm

Запись 29.09.2010  Про число e - доказательство его существования [ссылка1, ссылка2]

Запись 10.12.2010   22:00 перенесена сюда 25.02.2012 14:42
   Копии четырех страниц [ссылка на 4 страницы] из учебника Фихтенгольца, 3 том, который я скачал с адреса [ссылка на учебник] В них разобран вопрос, почему не получается дать определение площади поверхности на основе вписанных в поверхность измельчаемых плоских треугольников, подобно тому, как определяют длину кривой (как предел длин ломаных при измельчении их звеньев). Изложено просто, понятно, интересно, я не смог бы лучше.

Теория множеств, алгебра логики

Запись 15.09.2011 18:45
Алгебра множеств и логики. Справочные материалы из задачника Кудрявцева - Шабунина 1984 года [ссылка]

Запись 08.09.2011
По теории множеств и алгоритмов превосходный задачник, выходящий   далеко за рамки курса математики ВТУЗа [ссылка djvu 2,7 Mb]:
Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. 1995.djvu
Книга тех же авторов 2004 года [ссылка]

Обыкновенные дифференциальные уравнения

- есть во 2 томе Ефимова-Демидовича (Поспелова)

Запись 10.03.2011  12:00
     Учебник: Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (в формате djvu) [ссылка]  (- это почти классика)
     Задачник: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям (в формате djvu) [ссылка] (это классика)
     Решебник: Самойленко А.М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения примеры и задачи (в формате djvu) [ссылка] (- решеник задач из сборника Филиппова, главы о системах ЛДУ - в современном изложении)
    Монография: Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения (качественная теория с приложениями) (в формате djvu) [ссылка] (это вам на будущее, в этой книге на основе Жордановой формы матрицы изложена и иллюстрирована классификация общих решений систем ЛДУ)

Запись 05.03.2011  15:00
      Решебник: Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Учебн. пособие (в формате pdf) [прямая ссылка] [ссылка на сайт] (Одно из наилучших пособий по решению обыкновенных дифференциальных уравнений, в котором решены многие задачи из классического сборника Филиппова по ОДУ и по-современному изложены методы интегрирования систем линейных ОДУ)
      Решебник: Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. 1967 г. (формат djvu, заархивирован rar) [ссылка на страницу с адресами для скачивания] (В этой старой книге можно читать отдельные араграфы, отсутствующие ув других книгах. Изложение самое простое)

ТФКП (теория функций комплексной переменной)

Запись 06.12.2010 14:30
ТФКП. По конформным отображениям наилучшим пособием нахожу 4-й том "антидемидовича" (Боярчук А.К.) . Хорошее представление о наиболее употребительных конформных отображениях дают 20 страниц Главы 3 (начиная со стр. 83)  [ссылка на пособие]

Фракталы (вне курса математики во ВТУЗе)

Запись 13.04.2011 13:30
Студенты спрашивают меня о фракталах. Потому даю ссылки:

1. Первая из известных мне статей на русском языке о фракталах Б. Мандельброта (1979 год, журнал "Техника- Молодёжи") [ссылка]
2. К 80-ЛЕТИЮ БЕНУА МАНДЕЛЬБРОТА. В. А. Шлык. Белорусский государственный педагогический университет, г. Минск, Беларусь [ссылка]
3. Обзор по теории фракталов в Википедии [ссылка]
   http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%F0%E0%EA%F2%E0%EB
4. Сайт "всё о фракталах"  [ссылка]
5. Персональная страница Б. Мандельброта (ныне уже покойного) естественно, на английской мове [ссылка]
6. Сообщение энтузиаста фрактальных исследований [ссылка]
   

Математическое программное обеспечение

Запись 02.04.2011 13:30
Кроме всем известных Maple, Matematika и MatCad есть он-лайн программы
http://www.wolframalpha.com/examples/   - В режиме on-line якобы рисует графики, неравенства, берет интегралы и т.п. (бесплатный on-line ресурс фирмы Вольфрам Рисёрч, создавшей программу "Математика").
А Waterloo Maple раньше на своём сайте держала бесплатную младшую версию Maple V. Теперь я её там не вижу. Кто найдёт - прошу, поделитесь ссылкой.

Вне уроков

Раздел сайта: Политика, которая касается нас всех [последнее обновление 06.10.2012     15:30]

04.05.11  Я  давал студентам ссылки на статьи сайта ДЗВОН http://za-nauku.ru  
Статьи там часто публикуют хорошие... с других сайтов.
Но вот люди, возглавляющие ДЗВОН, оказались не тех качеств, какие я сначала в них видел.
Оказалось, что они на своём форуме привечают недоучек, шарлатанов, хулиганов, граждан "не в себе" и напрочь лишённых научной объективности (а то и человеческой совести). Шарлатаны в форуме сайта za-nauku.ru публикуют под видом научных статей антинаучный бред вместе с крикливыми требованиями громить РАН и МГУ. Модераторы им льстят, высоко оценивают этот бред, хотя не могут объяснить, что им в публикации понравилось. Не понимают, но льстят!
Свою рекомендацию доверять этому сайту (его руководителям) я отзываю (аннулирую).

*  *  *

В комментариях Зюганова к докладу Путина в Госдуме есть важные для нас цифры и факты

[цитирую  http://kprf.ru/rus_soc/90725.html ]

<...> На самом деле господином Фурсенко реализуются установки из доклада Всемирного банка, который подготовлен еще 22 ноября 1994 года «Россия. Образование в переходный период». Это секретный документ, имеющий ограниченное распространение, им могут пользоваться только лица при исполнении своих официальных обязанностей.
        Как выполняет эти требования господин Фурсенко? Ну, скажем, наше телевидение регулярно показывает встречи главы правительства со своими министрами, и меня глубоко поразила картина, когда господин Фурсенко докладывал о сути закона об образовании премьер-министру. Тот с удивлением узнал, что главным предметом в школе будет… физкультура. И отметил, что она ему нравится, но где же другие предметы?
       С физкультурой все ясно: видимо предполагается, что раб должен быть здоровым. А с ОБЖ он может еще и отбиться от бандитов в подъезде. Есть там и новый предмет «Россия в современном мире». Вернее, этого предмета пока нет, но его напишут: скажут, кого ты призван в этом мире уважать и чей язык обязательно должен знать.
       На мой взгляд, это просто издевательство над образованием. Как можно жить в России, не изучая государственный русский язык? Что можно делать в XXI веке, не зная математику, физику, химию, биологию? О какой гражданской позиции молодого человека можно говорить, если он не изучил свою историю и не читал нашу уникальную литературу? Ничего этого и в помине нет в законе, предложенным господином Фурсенко.
       И с такой вот, с позволения сказать, «лажей», он явился даже на свой отчет в Государственную Думу. И что же? Вместо того, чтобы выставить его за двери, довольно подготовленные люди обсуждали внесенные им предложения и даже посчитали, что основа для реформы готова.
       Мы категорически против такого законодательных предложений и настаиваем на том, что он не только не приемлем, но гробит и окончательно уничтожает наше образование.
       Документ Всемирного банка, который я вам показал, требует, чтобы в нашей стране была просто-напросто уничтожена вся сеть профтехучилищ. И это практически состоялось. Там предполагалось введение ЕГЭ, и оно также внедрено.
       Господин Путин, наша культурная столица - город Ленинград (Санкт-Петербург) - не вошла даже в тридцатку по итогам ЕГЭ, а Москва не попала в десятку. Кто занял первые места, вы прекрасно знаете и понимаете почему. Этот экзамен, по сути дела, спустил коррупцию на уровень парты первоклассника, в каждую семью. Кстати, по телевидению был обнародован очередной жуткий факт: завуч брала с родителей за прием детей в первый класс по 10 тыс рублей. Ее поймали с поличным. А что творится в школах в целом по стране. Поговорите с родителями, они просто в ужасе.
       Секретный документ Всемирного банка также предусматривал разгон педагогических вузов. И данный процесс тоже идет куда как энергично. Доклад этот предписывал ликвидацию системы инженерного образования, и этот бульдозер движется, все круша, самым полным ходом.
        Так что дело осталось за небольшим: изобрести и протащить закон о ликвидации образования как такового, вообще. Зачем вам, господа, «мелочиться»…
        Вспомним, что заявлял господин Фурсенко еще 4 года назад. Он говорил, что самым большим недостатком советской школы было де то, что она хотела развивать творческую личность. А, по мнению министра, надо растить не личности, а «квалифицированных потребителей». Мне кажется, что эти его слова не требуют комментариев.

[конец цитаты]

Очень интересный факт: министр финансов Кудрин не захотел ответить на вопрос, во сколько обошлась бюджету псевдореформа образования. Он переадресовал вопрос коллеге. Тот заявил "меньше миллиарда". А если проверить? Один лишь кредит в МБРР, как пишут в интернете, составил 200 миллионов долларов. И бОльшая его часть тут же пошла назад в виде оплаты "услуг" составления прожектов "реформирования".

Как же мы без их прожектов столько десятилетий и столетий жили-то? Как же мы создали такую систему образования, которую США, шокированные полётом Гагарина, были вынуждены ДОГОНЯТЬ?

Вот, посмотрите на то, что от нас скрывают эти "реформаторы" нашего образования:

http://www.za-nauku.ru//index.php?option=com_content&task=view&id=4071&Itemid=39

Обращение к студентам
[9.04.11]

Прошу всех, кто понимает важность для существования России её системы образования, поддержать обращение московского обкома всероссийского профсоюза образования к Президенту России.  Ссылка:  http://www.pron-m.ru/
(голосование анонимное)

Надо остановить фурсенок, пока они не разрушили всё до основания. Под надоевшую  за 20 лет лживую и пустую болтовню о "рыночных реформах" они протаскивают очередной законопроект - коренного "реформирования" системы образования, а на самом деле - убийства государственной системы образования в России, складывавшейся веками, путём миллионов проб и ошибок, путём отбора лучших находок лучших умов. 

Нет, конечно, не потому я прошу вас поддержать обращение, что Медведев проникнется и остановит эту агрессию против нас. Медведев - один из тех, кто ей помогает.
Я потому прошу вас поддержать, чтобы Медведевы, наконец, увидели, что народ устал терпеть уничтожение систем своего жизнеобеспечения, устал терпеть издевательства, ложь, обман. У них ведь вся политика уже 20 лет держится на постепенности, незаметности, терпимости для народа всех актов ликвидации нашего государства. Мелкими шагами, по чуть-чуть, но нас тянут в могилу. Главное, чтобы мы этого не замечали, не сопротивлялись. И в ЭТО время голос сотен тысяч человек, сказавших "нет", будет ими услышан. Нам пора научиться говорить им "нет".

Но они ведь и силовые методы готовят для решительного и окончательного натиска на народ, - это и тайные старания втянуть Россию в НАТО (чтобы иметь возможность иностранным армиям стрелять в восставший безоружный народ России) и преобразование народной милиции в свою обслугу - полицию, это и секретные от народа   переговоры  о насильственном втягивании России в ВТО (т.е. окончательного превращения нас в однобокую колонию, в которой могут жить лишь 40 - 50 миллионов человек, остальные лишние).

Болтовнёй про "рыночные отношения" в 1990х они прикрывали уничтожение промышленности и сельского хозяйства с целью превращения России в сырьевой придаток Запада, фактически - в концлагерь, как теперь озвучивает Михаил Прохоров, "владелец" Норильского никеля и других советских заводов-гигантов.   

Они уже уничтожили десятки тысяч предприятий, заводов, фабрик, колхозов и совхозов, деревень. См. основные цифры хотя бы здесь:

(профессор, д.т.н.)   Ю.К.Ковальчук. Приговорены к устранению

http://www.za-nauku.ru//index.php?option=com_content&task=view&id=1704&Itemid=35

А вот предистория, чтобы вы не думали, что в России происходит что-то необычное. Посмотрите в это недавнее прошлое и вы увидите то будущее, в которое нас тянут фурсенки и иже с ними:

Полина Федотова. Медь, сахар, нефть и политика

http://www.za-nauku.ru//index.php?option=com_content&task=view&id=4020&Itemid=35

На самом же деле эту предисторию излагать надо с еще более раннего времени: упомянуть, как Англия корабельными пушками насаждала в Китае наркоманию; рассказать, как первое буржуазное государство, Нидерланды, прославилось своими зверствами в колониях. ( В "Алисе в Стране чудес" есть намек на это, - карточная королева кричит "голову ему долой, голову ему долой,..."  - Автор "Алисы", декан математического факультета Чарльз Доджсон, как раз жил в ту эпоху, когда подданые её величества играли в гольф головами туземцев).

Они уже нанесли республикам СССР и России экономический ущерб, превышающий ущерб, нанесенный гитлеровцами в 1941-1945 годах.   Они искусственно создали регулируемую безработицу, - это средство террора, подавления воли населения к сопротивлению. Безработицы не было в Советской России, на каждом предприятии висели доски объявлений: "требуются на работу". Они уже намерены сделать нам 12-часовой рабочий день и отодвинуть пенсионный возраст за срок доживания. Они давно готовы были бы это сделать, если бы не боялись народа, который может им сказать:" вы - воры, а не собственники; вы незаконно отняли у народа его собственность обманом, потому извольте сесть за решетку, а награбленное вернуть народу".

Под те же завывания о "рынке" они не так давно законом ликвидировали системы защиты лесов и природных богатств, чтобы их легче было вывозить за рубеж, не делясь доходом с народом. Следили за чудовищными лесными пожарами в 2010 году? - Это плод их трудов.

Теперь они ликвидируют оборону и образование. Наши последние линии защиты. Они ликвидируют саму нашу государственность, все наши системы жизнеобеспечения народа. Для них является угрозой любой государственный орган, который хоть чем-то реально защищает народ, - санэпидстанции, госгортехнадзор, государственная система защиты лесов, контроль за качеством продуктов питания  и т.д. - каждую такую государственную систему они или ликвидируют или дробят и приватизируют, выводят из контакта с народом, делают инструментом для выгоды власть имущих. Последний акт такого рода - превращение милиции, которая была обязана защищать народ, защищать порядок, в полицию, которая будет защищать тех, кто им платит зарплату или мзду. "Рыночные отношения" в единой системе образования России превратят всех её граждан в существа без разума, в рабов и сделают невозможным возрождение страны. Поддержите обращение сами и попросите друзей поддержать! Голосование анонимное.

Ссылки:   http://www.pron-m.ru/ (там же смотри альтернативный законопроект)

http://www.za-nauku.ru//index.php?option=com_content&task=view&id=4014&Itemid=31

Ещё раз: почему я так беспокоюсь о том, чтобы мои студенты приняли участие в происходящем?  - Потому что технологии жизнеобеспечения человечества уже реально угрожают нам всем гибелью на этой планете. А олигократия безумна. Это не паникёрство, это серьёзно.

Один лишь открытый склад ядерных отходов из Европы у нас в Сибири может навечно погубить всё в радиусе порядка 3000 км. Власть всех этих ротшильдов, морганов, рокфеллеров и т.п. не способна думать об этих проблемах, она не способна ни к чему, кроме бесконечной лжи, грабежа народов, убийств лидеров и просто совестливых людей, мешающих грабежу, мешающей их неограниченному господству, рабовладению.

Посмтрите, в качестве примера на то, что они вытворяют в Ливии! Ведь все эти "повстанцы" оказались вооружены новейшим оружием стандарта НАТО. Это не повстанцы, это наёмники! Их СМИ по всему миру визжат что-то невразумительное и унизительное против Каддафи, приписывают ему преступления, которых он не делал, и под этот шум они вооружают бандитов, в том числе из якобы нелюбимой ими Аль - Каеды, и захватывают нефтепромыслы Ливии.

И что, эти наглые и беспредельно лживые агрессоры, убийцы и воры,   в отношении России станут вести себя как  благородные рыцари, что ли? - Нет, их планы в отношении России такие же как в отношении Ливии. А фурсенки и т.п. у них тут на побегушках.

Посмотрите: эти безумцы из-за своей скотской жадности забурили две сверхглубокие скважины в зоне разлома коры в Мексиканском заливе. О чём они думали, когда затевали эту авантюру?! В итоге загадили нефтью весь Мексиканский залив, побережье США, загадили Атлантический океан, отравили воду океана диспергентами, осадили вниз эту черную липкую жижу (она плывет на глубине нескольких сотен метров), изменили даже отражающие Солнце свойства воды - всё это ведёт к катастрофе всепланетного масштаба, - может повлиять на климат, урожаи и т.д. Количество погубленных ими в океане птиц, животных, рыб, планктона - не поддается даже грубой оценке! Судя по геологическим схемам разлома, опубликованным в интернете, газ и нефть будут продолжать выделяться по разлому до донных отложений, а сквозь них просачиваться вверх, в воду. И никакая пломба на скважине от этого не спасает. А они, вместо того, чтобы заниматься этой проблемой, запретили всем СМИ на эту тему высказываться, чтобы не возбудить гнев народов. Даже в интернете материалы на эту тему почти все исчезли.

А радиация от Фукусимы? Она уже обошла вокруг всё северное полушарие. Болтовня в СМИ про её неопасность - это опять преступление сверхбогачей, диктующих куклам-политикам, что надо врать народам. На самом деле радиационные осадки никогда не распределяются равномерно, они выпадают островами, а бытовой дозиметр не видит многие диапазоны илучения, например, вообще не видит альфа-излучение. О чём думали богатеи - хозяева Дженерал Электрик (США), - когда ставили АЭС в сейсмически активной зоне? - Они думали только о своем кармане. Это же авантюра с заранее известным трагическим исходом. Трагическим для всего человечества! 

Сверхобгачи воображают себя в безопасности, они воображают, что им будет хорошо даже тогда, когда всем народам будет плохо. Они эгоистичны, безграмотны, абсолютно аморальны, мыслят на уровне средневековых дворцовых интриганов. Они думают, что люди всегда будут им подчиняться, потому что иного способа строить общественные отношения якобы нет. По своим моральным и мыслительным качествам это просто воровская малина! Они помешались на денежных отношениях, возвели частную собственность (сильных мира сего) в ранг божества и стараются эту свою шизофрению насадить везде.

    Но в Советской России был иной способ строить общество. Была другая МОРАЛЬ.
Мы с детсва понимали, что главное, что обспечивает нашу жизнь на планете - труд, материальное производство, наука. А вовсе не спекуляции на бирже. Деньгами жизнь не измеряется. Не всё продаётся и не всё покупается. И потому делать деньги, напрмер, условием проведения операции больному, - преступно. Преступно в конституции писать, что все граждане равны, а на деле насаждать неравенство с помощью денег.

Те, кто воспитан в СССР, отлично понимают, что вся эта олигократия - преступна.  Мы, воспитанные в СССР,   различаемся лишь в том, считать ли эту преступность преодолимой или нет, терпимой или нет. Разумеется, среди нас тоже немало эгоистов, приспособленцев, подлецов, имеющих кругозор мыши. Но наиболее разумные из нас видят, что остановить этих преступников необходимо, если мы хотим, чтобы жили следующие поколения людей.

Чтобы человечество не погибло, оно должно стать разумным! Именно поэтому моя главная забота, - чтобы мои студенты были грамотными, имели широкий кругозор, чтобы знали больше меня.

Учитель, воспитай ученика, чтобы было тебе у кого поучиться! - Вот древний лозунг, которому я обязан следовать, чтобы ни болтало начальство.

Добиться грамотности студентов - это то, чем я реально могу помочь человечеству сохранить свою жизнь, свой разум и свою совесть. Другого способа у меня нет.

В самом деле, ребята, ну не за 4875 же рублей (это же меньше моей студенческой стипендии обычной, не повышенной, в 1968 году)  я треплю себе нервы тем, что уговариваю, убеждаю, заставляю, ставлю двойки. Да мне в тысячу раз легче было бы ставить всем зачёты и положительные оценки! И ездить на работу меньше и нервам спокойнее и начальство бы любило.  -   Нельзя! За разум надо биться, иначе все сгинем на этой планете. Все сгинем: и умные и глупые и честные и подлые.

Так что, молодёжь, учёба - ваш долг перед всем человечеством, перед Родиной, а не ваше личное дело. Скорее взрослейте, набирайтесь опыта, знаний и берите планету в свои руки. А то мы, воспитанные в СССР, уже уходим... - и именно на этом строят свои планы убийцы России, убийцы русской цивилизации. Они очень хотят, чтобы вы знали меньше нас. У них много шансов добиться желаемого, потому что жизненный опыт лишь частично может быть получен по книгам, а вы живёте не в тех условиях, как мы.

Но есть такая категория - культура. Это именно она, передаваемая из поколения в поколение, - главный защитник народа от уничтожения. Потому набирайтесь нашей, русской и советской культуры (в разумных пропорциях, отбирайте лучшее) и насыщайтесь знаниями.

Не позволяйте им добиться того, чтобы вы знали меньше нас.